Visualizza wikitesto di Spettro (matematica)

In [[matematica]], in particolare nell'ambito dell'[[analisi funzionale]] e della [[teoria spettrale]], lo '''spettro''' di una [[trasformazione lineare]] tra [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] è la generalizzazione del concetto di insieme di [[Autovettore e autovalore|autovalori]] per le [[matrice di trasformazione|matrici]].

Il concetto di spettro viene solitamente introdotto in [[algebra lineare]] nell'ambito delle trasformazioni lineari (limitate) tra spazi vettoriali di dimensione finita, e viene esteso dall'analisi funzionale al caso di [[operatore lineare continuo|operatori lineari]] [[operatore limitato|limitati]], e anche non limitati, in spazi vettoriali infinito-dimensionali. Agli operatori non limitati spesso si richiede che siano [[operatore chiuso|chiusi]].

Se <math>T</math> è un operatore lineare limitato definito su uno [[spazio di Banach]] <math>\mathbb{X}</math> sul [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, e con <math>I</math> si indica la funzione identità su <math>\mathbb{X}</math>, lo spettro di <math>T</math> è l'insieme dei numeri <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> tali per cui <math>\lambda I - T</math> non possiede un inverso che è un operatore lineare limitato. Se <math>\lambda</math> è un autovalore di <math>T</math>, allora <math>T-\lambda I</math> non è una [[funzione biunivoca]] e dunque la sua inversa <math>(T-\lambda I)^{-1}</math> non è definita. Tuttavia, l'operatore <math>T - \lambda I</math> può comunque non avere un operatore inverso: perciò lo spettro di un operatore contiene tutti i suoi autovalori, ma non si limita ad essi. 

Si può dimostrare che ogni operatore lineare limitato su uno [[spazio di Banach]] [[numero complesso|complesso]] ha uno spettro non vuoto. Inoltre, operatori su spazi [[infinito (matematica)|infinito]] [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensionali]] possono non avere autovalori, ad esempio sullo [[spazio di Hilbert]] [[Spazio l2|ℓ<sup>2</sup>]] l'operatore di [[shift unilaterale]] <math>(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)</math> non ha autovalori.

== Spettro di operatori limitati ==
Sia <math>T</math> un [[Operatore lineare continuo|operatore lineare]] [[operatore limitato|limitato]] definito su uno [[spazio di Banach]] complesso <math>X</math>.

Si definisce ''insieme risolvente'' di <math>T</math> l'insieme <math>\rho(T)</math> dei [[numero complesso|numeri complessi]] <math>\lambda</math> tali per cui l'operatore <math>\lambda I - T</math> è invertibile, ovvero ha un [[Funzione inversa|inverso]] che è un operatore lineare limitato.

Si definisce ''risolvente'' di <math>T</math> la funzione:

:<math>R_\lambda (T) = (\lambda I - T)^{-1} \ </math>

Lo spettro di <math>T</math> è l'insieme <math>\sigma(T)</math> dei numeri complessi <math>\lambda</math> che non appartengono all'insieme risolvente, ovvero tali per cui l'operatore <math>\lambda I - T</math> non è invertibile.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 188|reed}}.</ref> 

Dal momento che <math>\lambda I - T</math> è un [[operatore lineare continuo|operatore lineare]], se il suo inverso esiste esso è lineare. Inoltre, per il [[teorema del grafico chiuso]] l'inverso di un [[operatore limitato|operatore lineare limitato]] è limitato. Segue che l'insieme risolvente è l'insieme dei valori che rendono <math>\lambda I - T</math> bigettivo.

Lo spettro di un operatore non può essere vuoto, e si possono distinguere tre suoi sottoinsiemi disgiunti:

* Si definisce ''spettro puntuale'' o ''discreto'' di <math>T</math> l'insieme degli [[autovalore e autovettore|autovalori]] di <math>T</math>, ovvero i numeri complessi <math>\lambda</math> tali che:

:<math>T(x) = \lambda x \qquad x \ne 0 \ </math>

:Gli autovalori sono quindi i numeri tali per cui <math>T(x) - \lambda x = 0 </math>, ovvero <math>(T - \lambda I)(x) = 0 </math>: infatti, la funzione <math>T - \lambda I</math> non è invertibile se il suo [[Nucleo (matematica)|nucleo]] non è costituito dal solo vettore nullo, ovvero esistono dei vettori <math>x</math> tali per cui esiste un <math>\lambda</math> tale che <math>T(x) - \lambda x = 0 </math>. In modo equivalente, <math>\lambda</math> è autovalore di <math>T</math> se e solo se <math>T - \lambda I</math> non è iniettivo, oppure se e solo se <math>\det(T - \lambda I) =0</math>.

* Si definisce ''spettro continuo'' di <math>T</math> l'insieme dei numeri <math>\lambda</math> tali per cui <math>(\lambda I - T)^{-1}</math> non è limitato, pur essendo densamente definito.

* Si definisce ''spettro residuo'' di <math>T</math> l'insieme dei numeri <math>\lambda</math> che non sono autovalori e tali per cui l'operatore <math>\lambda I - T</math> non ha [[immagine (matematica)|immagine]] [[insieme denso|densa]] in <math>X</math>.<ref>Lo [[shift unilaterale]] su <math>l^2(N)</math> ne fornisce un esempio: tale operatore è una [[isometria]], ed è quindi limitato ma non invertibile poiché non è surriettivo.</ref>

Lo spettro include l'insieme degli autovalori detti ''autovalori approssimati'', che sono i <math>\lambda</math> tali che  <math>(\lambda I - T)^{-1}</math> non è limitato oppure non esiste. Questo rende possibile una differente suddivisione dello spettro:

* Si definisce ''spettro puntuale approssimato'' l'insieme dei numeri <math>\lambda</math> per i quali esiste una successione di vettori unitari <math>x_n</math> tale che:

:<math>\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0</math>

:Lo spettro puntuale approssimato contiene lo spettro puntuale, e per un operatore limitato non è mai vuoto.
* Si definisce ''spettro residuo puro'' l'insieme dei numeri <math>\lambda</math> per i quali <math>(\lambda I - T)^{-1}</math> è limitato e l'immagine di <math>\lambda I - T</math> è un sottospazio proprio di <math>X</math>.

Si dimostra che l'insieme risolvente <math>\rho(T)</math> è un sottoinsieme aperto di <math>\Complex</math>, e che il risolvente <math>R_\lambda (T)</math> è una [[funzione analitica]] definita su un sottoinsieme <math>D</math> aperto e connesso del piano complesso a valori nello spazio degli operatori limitati su <math>X</math>. In particolare, <math>R_\lambda (T)</math> è analitica per ogni sottoinsieme massimale [[insieme connesso|connesso]] di <math>D</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 190|reed}}.</ref>

Inoltre, per ogni <math>\lambda , \mu \in \rho(T)</math> le funzioni <math>R_\lambda (T)</math> e <math>R_\mu (T)</math> [[commutatore (matematica)|commutano]] e si ha:

:<math>R_\lambda (T) - R_\mu (T) = (\lambda - \mu)R_\lambda (T) R_\mu (T) \ </math>

Tale relazione è detta ''prima formula risolvente''.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 191|reed}}.</ref>

La limitatezza dello spettro segue dall'[[serie di Neumann|espansione in serie di Neumann]] in <math>\lambda</math>. Lo spettro 
<math>\sigma(x)</math> è limitato da <math>\|x\|</math>, ed un risultato simile ne dimostra la chiusura: lo spettro di un operatore limitato è compatto.

===Algebra di Banach===
Un operatore limitato può essere visto come un elemento di una [[algebra di Banach]] <math>B</math> complessa contenente l'[[unità (matematica)|unità]] <math>e</math>. Lo spettro di un elemento <math>x</math> di <math>B</math>, spesso scritto come <math>\sigma_B(x)</math> o semplicemente <math>\sigma(x)</math>, consiste nei [[numero complesso|numeri complessi]] <math>\lambda</math> tali per cui l'operatore <math>(\lambda e - x)</math> non è invertibile in <math>B</math>. Se <math>X</math> è uno [[spazio di Banach]] complesso allora l'insieme di tutti gli [[operatore lineare limitato|operatori lineari limitati]] su di esso forma un'algebra di Banach, chiamata <math>B(X)</math>.

===Raggio spettrale===
{{vedi anche|Raggio spettrale}}
Si definisce raggio spettrale di <math>T</math> il numero <math>r(T)</math> dato da:

:<math>r(T) = \sup_{\lambda \in \sigma(T)}|\lambda|</math>

Si dimostra che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 192|reed}}.</ref>

:<math>\lim_{n \to \infty} \| T^n \|^{1 \over n} = r(T)</math>

e tale limite esiste sempre. In particolare, se <math>X</math> è uno [[spazio di Hilbert]] e <math>T</math> è [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] si ha:

:<math>r(T) = \| T \| \ </math>

===Spettro dell'operatore aggiunto===
{{vedi anche|Operatore aggiunto|Operatore autoaggiunto}}
La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno [[spazio di Hilbert]] o in uno [[spazio di Banach]]. A causa di ciò, lo spettro ed il risolvente di un operatore definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert, denotando l'aggiunto di <math>T</math> con <math>T^*</math>, si ha che:

:<math>\sigma(T^*) = \{\lambda : \bar \lambda \in \sigma(T) \} \qquad R_\lambda(T^*) = R_\lambda(T)^*</math>

Inoltre, se <math>\lambda</math> appartiene allo spettro residuo di <math>T</math>, allora <math>\lambda</math> appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto <math>T^*</math>. Se invece <math>\lambda</math> appartiene allo spettro puntuale di <math>T</math>, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di <math>T^*</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 194|reed}}.</ref>

Se <math>T</math> è [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] su uno spazio di Hilbert, si ha inoltre:

* <math>T</math> non ha spettro residuo.
* <math>\sigma(T)</math> è un sottoinsieme di <math>\R</math>,ovvero gli autovalori sono reali.
* Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Un operatore autoaggiunto di una [[C*-algebra]] <math>\mathcal{A}</math> è detto ''positivo'' se il suo spettro <math>\sigma(A)</math> contiene soltanto numeri non negativi reali. Inoltre è positivo se e solo se esiste un elemento <math>B \in \mathcal{A}</math> tale che <math>A = B^* B</math>. Un operatore positivo in uno spazio di Hilbert (dunque sul campo complesso) è autoaggiunto, ed in particolare [[operatore normale|normale]].<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 195|reed}}.</ref> Questo non vale su uno spazio vettoriale reale.

Il [[teorema spettrale]] stabilisce inoltre che un operatore limitato su uno spazio di Hilbert è normale se e solo se è un operatore di moltiplicazione. Si può mostrare che, in generale, lo spettro continuo di un operatore di moltiplicazione limitato è l'intero spettro.

=== Spettro di operatori compatti e normali ===
{{vedi anche|Operatore compatto|Operatore normale}}
Il teorema di Riesz-Schauder asserisce che se <math>A</math> è un operatore compatto definito su uno [[spazio di Hilbert]] <math>H</math> allora lo spettro <math>\sigma(A)</math> è un insieme finito o numerabile che ammette al più <math>\lambda =0</math> come punto di accumulazione. Inoltre, ogni <math>\lambda \in \sigma_p(A)</math> non nullo ha molteplicità finita. Lo spettro si presenta in questa forma:

:<math>\sigma(A)=\sigma_p(A) \cup \{0\} </math>

Si osservi che nulla esclude che anche <math>\lambda=0</math> potrebbe essere autovalore con molteplicità finita o infinita.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 203|reed}}.</ref>

Il [[teorema spettrale]] afferma che ogni [[matrice normale]] è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice unitaria]]. In altre parole, per ogni matrice normale <math>H</math> esistono una matrice unitaria <math>U</math> ed una diagonale <math>D</math> per cui:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 251|lang}}.</ref>

:<math> D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU </math>

Come corollario segue che se e solo se l'operatore <math>T</math> è [[operatore hermitiano|autoaggiunto]] la base ortonormale conta solo autovalori [[numero reale|reali]], mentre se <math>T</math> è [[operatore unitario|unitario]] il [[Valore assoluto#Numeri complessi|modulo]] degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una [[matrice hermitiana]] sono tutti reali, mentre quelli di una [[matrice unitaria]] sono di modulo 1.

== Spettro di operatori illimitati ==
Si può estendere la definizione di spettro per [[operatore limitato|operatori illimitati]] su uno [[spazio di Banach]] <math>X</math>, operatori che non sono più elementi dell'algebra di Banach <math>B(X)</math>, e si procede in maniera simile al caso limitato. Un numero complesso <math>\lambda</math> si dice essere nell'''insieme risolvente'' di un operatore lineare <math>T: D \subset X \to X</math> se l'operatore:

:<math>T-\lambda I: D \to X</math>

ha un inverso limitato, ovvero se esiste un operatore limitato <math>S : X \rightarrow D</math> tale che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 253|reed}}.</ref>

:<math>S (T - \lambda I) = I_D \qquad (T - \lambda I) S  = I_X </math>

Il [[insieme complemento|complementare]] dell'insieme risolvente è lo spettro di <math>T</math>. Un numero complesso <math>\lambda</math> è quindi nello spettro se la precedente proprietà non vale, e si può classificare lo spettro esattamente allo stesso modo del caso limitato. Lo spettro di un operatore illimitato è in generale un sottoinsieme chiuso, possibilmente vuoto, del piano complesso.

Dalla definizione segue che <math>S</math> può non essere invertibile nel senso degli operatori limitati. Dato che il dominio <math>D</math> può essere un sottoinsieme proprio di <math>X</math>, l'espressione:

:<math>\, (T - \lambda) S  = I_X</math>

ha senso solo se l'immagine di <math>S</math> è contenuta in <math>D</math>. In modo simile:

:<math>\, S (T - \lambda) = I_D</math>

implica che <math>D</math> è contenuto nell'immagine di <math>S</math>. 

Il fatto che <math>\lambda</math> stia nell'insieme risolvente di <math>T</math> significa che <math>T-\lambda</math> è bigettiva. Il viceversa è vero se si introduce la condizione addizionale che <math>T</math> è un [[operatore chiuso]]. Per il [[teorema del grafico chiuso]], infatti, se <math>T - \lambda I : D \to X</math> è bigettiva allora la sua applicazione inversa (algebricamente) è necessariamente un operatore limitato. Si noti che la completezza di <math>X</math> è richiesta nell'invocare il teorema del grafico chiuso. 

In contrasto col caso limitato, quindi, la condizione che un numero complesso <math>\lambda</math> stia nello spettro di <math>T</math> diventa puramente algebrica: per un operatore chiuso <math>T</math>, <math>\lambda</math> è nello spettro di <math>T</math> se e solo se <math>T-\lambda I</math> non è bigettiva.

==L'operatore risolvente==
Il risolvente <math>R_\lambda</math> può essere valutato a partire dagli autovalori e dalle autofunzioni di <math>T</math>. Applicando <math>R_\lambda</math> ad una funzione arbitraria <math>\varphi</math> si ha:

:<math>R_\lambda |\varphi \rangle = (\lambda - T)^{-1}\ |\varphi \rangle = \Sigma_{i=1}^n  \frac {1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i, \varphi \rangle </math>

Tale funzione ha poli nel piano complesso in corrispondenza degli autovalori di <math>T</math>. Utilizzando allora il [[Residuo (analisi complessa)|metodo dei residui]] si ottiene:

:<math>\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1} \ |\varphi \rangle = -\Sigma_{i=1}^n \  |e_i \rangle \  \langle f_i, \varphi \rangle  = -|\varphi \rangle</math>

dove l'integrale è preso lungo un bordo <math>C</math> che include tutti gli autovalori. Supponendo che <math>\varphi</math> sia definita sulle coordinate <math>\{x_i\}</math>, ovvero:<ref name=Dirac2>{{Cita libro|url=http://books.google.com/books?id=XehUpGiM6FIC&pg=PA65#v=onepage&q=&f=false |pagine=65 ''ff'' |autore=PAM Dirac |titolo=''op. cit'' |isbn=0-19-852011-5 }}</ref><ref name=Dirac3>{{Cita libro|url=http://books.google.com/books?id=XehUpGiM6FIC&pg=PA60#v=onepage&q=&f=false |pagine=60 ''ff'' |autore=PAM Dirac |titolo=''op. cit'' |isbn=0-19-852011-5 }}</ref>

:<math>\langle x, \ \varphi \rangle = \varphi (x_1, \ x_2, ... \ ) \qquad \langle x , \ y \rangle = \delta (x-y) = \delta(x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \dots) </math>

si ha:

:<math>\begin{align}
\left\langle x,\  \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda (\lambda - T)^{-1}\varphi \right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ \langle x,\  (\lambda - T)^{-1} \ \varphi \rangle\\
&= \frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \int \ dy\ \ \langle x,\  (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle  \ \langle y , \ \varphi \rangle
\end{align}</math>

La funzione <math>G(x, y; \lambda)</math> definita come:

:<math>\begin{align}
G(x,\ y;\ \lambda) &= \langle x,\  (\lambda - T)^{-1}\ y\rangle \\
&= \Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^n \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i,\ (\lambda - T)^{-1}e_j \rangle \langle f_j , \ y\rangle \\
&= \Sigma_{i=1}^n \frac{ \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle }{\lambda - \lambda_i} \\
&= \Sigma_{i=1}^n \frac{ e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i}
\end{align}</math>

è la [[funzione di Green]] per <math>T</math> e soddisfa:<ref name=Friedman3>{{Cita libro |titolo=''op. cit'' |pagine=214, Eq. 2.14 |autore=Bernard Friedman |isbn=0-486-66444-9 |url=http://books.google.com/books?id=gnQeAQAAIAAJ&dq=intitle:applied+intitle:mathematics+inauthor:Friedman&cd=1 }}</ref>

:<math>\frac{1}{2\pi i }\ \oint_C \ d \lambda \ G(x,\ y;\ \lambda) = -\Sigma_{i=1}^n  \langle x,\ e_i \rangle \langle f_i , \ y\rangle = -\langle x, \ y\rangle = -\delta (x-y) </math>

== Esempio ==
Si consideri lo [[shift bilaterale]] <math>T</math> su <math>\ell^2(\Z)</math> dato da:

:<math>
T(\cdots, a_{-1}, \hat{a}_0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat{a}_{-1}, a_0, a_1, \cdots)
</math>

dove ^ denota la posizione zero. Un calcolo diretto mostra che <math>T</math> non ha autovalori, ma ogni <math>\lambda</math>  con <math>|\lambda|=1</math> è un autovalore approssimato. Ponendo <math>x_n</math> un vettore:

:<math>\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n-1}, 0, \dots)</math>

allora <math>\|x_n\|=1</math> per ogni ''n'', ma:

:<math>\|Tx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0</math>

Poiché <math>T</math> è un operatore unitario, il suo spettro appartiene al cerchio unitario. Quindi lo spettro continuo di <math>T</math> è tutto lo spettro, e questo vale per una classe più generale di operatori.

==Note==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

== Voci correlate ==
* [[Autovettore e autovalore]]
* [[Operatore aggiunto]]
* [[Operatore autoaggiunto]]
* [[Operatore compatto]]
* [[Operatore limitato]]
* [[Operatore lineare continuo]]
* [[Operatore normale]]
* [[Raggio spettrale]]
* [[Shift unilaterale]]
* [[Spettro essenziale]]
* [[Teorema del grafico chiuso]]
* [[Teorema spettrale]]
* [[Teoria spettrale]]
* [[Trasformazione lineare]]

==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Spectrum of an operator|autore= V.S. Shul'man }}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria spettrale]]