Visualizza wikitesto di Somma diretta

{{nota disambigua|la somma diretta tra due gruppi in notazione additiva|Prodotto diretto}}
In [[algebra lineare]], la '''somma diretta''' è una costruzione tra [[Modulo (algebra)|moduli]] che restituisce un modulo più grande. Ad esempio, la somma diretta di due [[gruppo abeliano|gruppi abeliani]] <math>A</math> e <math>B</math> è un gruppo abeliano <math>A\oplus B</math> formato da tutte le coppie ordinate <math>(a,b)</math> con <math>a \in A</math> e <math>b \in B</math>. In particolare, il [[prodotto cartesiano]] di <math>A</math> e <math>B</math> è caratterizzato con una struttura di gruppo abeliano definendo la somma tra coppie ordinate <math>(a, b) + (c, d)</math> come <math>(a + c, b + d)</math> e la moltiplicazione come <math>n(a, b) = (na, nb)</math> per <math>n</math> intero. Costruzioni simili consentono di caratterizzare la somma diretta tra varie strutture algebriche come moduli, [[Anello (algebra)|anelli]] o [[sottospazio vettoriale|sottospazi vettoriali]]. La somma diretta può essere anche definita tra più addendi, ad esempio <math>A \oplus \! B \oplus C</math>. 

Nel caso di un numero finito di addendi la somma diretta tra gruppi abeliani è un [[prodotto diretto]], mentre nel caso di infiniti addendi molti autori fanno una distinzione: un elemento di una somma diretta ha tutte le componenti nulle tranne che per un numero finito di esse, mentre un elemento di un prodotto diretto può avere tutte le componenti diverse da zero.

== Spazi vettoriali ==
Uno [[spazio vettoriale]] <math> V </math> si definisce somma diretta dei [[sottospazio vettoriale|sottospazi]] <math> U </math> e <math> W </math> se ogni elemento <math> \mathbf v \in V</math> si può scrivere in maniera unica nel seguente modo:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 52|lang}}.</ref>

:<math>\mathbf v = \mathbf u + \mathbf w</math>

con <math> \mathbf u \in U</math> e <math> \mathbf w \in W</math>. La dimensione di <math> V </math> è inoltre pari alla somma algebrica delle dimensioni di <math> U </math> e <math> W </math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 53|lang}}.</ref>

Una condizione necessaria e sufficiente affinché i due sottospazi siano in somma diretta è che <math>V = U + W</math> e la loro intersezione sia il vettore nullo:

:<math> U \cap W =\{\mathbf 0 \}</math>

Questo si estende a famiglie di un qualsiasi numero di sottospazi.

Si dice inoltre che <math> V </math> si decompone in somma diretta di <math> U </math> e <math> W </math> e si scrive:

:<math> V = U \oplus W</math>

Per la [[formula di Grassmann]], due spazi sono in somma diretta se e solo se:<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 46|kunze}}.</ref>

:<math> \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) </math>

Quando due spazi non sono in somma diretta, il termine a sinistra è strettamente minore di quello a destra.

=== Componenti e proiezione ===
{{vedi anche|Proiezione (geometria)}}
Se <math> U </math> e <math> W </math> sono in somma diretta, ogni elemento <math> \mathbf z </math> del [[sottospazio somma]] <math> U+W </math> si scrive unicamente come:

:<math>\mathbf z = \mathbf u+\mathbf w </math>

dove <math>\mathbf u </math> e <math>\mathbf w </math> sono elementi rispettivamente di <math> U </math> e <math> W </math>. Gli elementi <math>\mathbf u </math> e <math>\mathbf w </math> sono detti ''componenti'' di <math>\mathbf z </math> lungo i due sottospazi. Grazie all'unicità di queste, è possibile definire due [[proiezione (geometria)|proiezioni]]:

:<math>p_U:U+W \to U \qquad p_W:U+W\to W </math>

semplicemente ponendo:

:<math>p_U(\mathbf z) =\mathbf u \qquad p_W(\mathbf z) =\mathbf w </math>

=== Esempi ===
Lo spazio <math> M(n) </math> delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] <math> n\times n </math> a coefficienti in un campo <math>K </math> si decompone nei sottospazi delle [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] e [[matrice antisimmetrica|antisimmetriche]]:

:<math> M(n) = S(n) \oplus A(n)</math>

Le dimensioni relative dei sottospazi sono:

:<math> n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2</math>

e le rispettive proiezioni sono:

:<math>p_U(M) = \frac{M+M^t}2 \qquad p_W(M) = \frac{M-M^t}2 </math>

Tali operatori di proiezione permettono di decomporre ogni matrice nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica:

:<math> M = \frac{M+M^t}2 + \frac{M-M^t}2 </math>

e inoltre:

:<math> \left(\frac{M+M^t}2\right)^t = \frac{M^t+(M^t)^t}2 = \frac{M^t+M}2 = \frac{M+M^t}2</math>

mostra che la matrice <math> p_U(M) </math> è effettivamente simmetrica (perché uguale alla sua [[matrice trasposta|trasposta]]: si verifica analogamente che <math> p_W(M) </math> è antisimmetrica).

== Moduli ==
La somma diretta di gruppi abeliani e la somma diretta di spazi vettoriali sono casi particolari della costruzione della somma diretta tra [[Modulo (algebra)|moduli]].

Sia <math>R</math> un anello e <math>\{ M_i : i \in I \}</math> una famiglia di ''R''-moduli sinistri indicizzata dall'insieme <math>I</math>. La somma diretta dei moduli <math>\{ M_i \}</math> è definita come l'insieme di tutte le successioni <math>(\alpha_i)</math> con <math>\alpha_i \in M_i</math> e <math>\alpha_i = 0</math> per un [[Topologia cofinita|sottoinsieme cofinito]] di indici ''i'' (cioè per tutti gli indici ad eccezione di un insieme finito). Si può anche definire come le funzioni <math>\alpha</math> da <math>I</math> a valori nell'unione disgiunta dei moduli <math>M_i</math> tali che <math>\alpha(i) \in M_i</math> per ogni <math>i \in I</math> e <math>\alpha(i) =0</math> per un sottoinsieme cofinito di indici ''i''.

Due successioni (o funzioni) <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> possono essere sommate scrivendo <math>(\alpha + \beta)_i = \alpha_i + \beta_i</math> per ogni ''i'' (tale successione è ancora nulla tranne che per un numero finito di elementi), ed una successione <math>\alpha</math> può essere moltiplicata per un elemento <math>r</math> dell'anello <math>R</math> definendo <math>r(\alpha)_i = (r\alpha)_i</math> per ogni ''i''. In questo modo la somma diretta diventa un ''R''-modulo sinistro, denotato con:

:<math> \bigoplus_{i \in I} M_i</math>

Solitamente si denota la successione <math>(\alpha_i)</math> anche come una somma  <math> \Sigma \alpha_i</math>.

== Proprietà ==
* La somma diretta dei moduli <math>M_i</math> è un [[Modulo (algebra)|sottomodulo]] del [[prodotto diretto]] dei moduli <math>M_i</math>. Il prodotto diretto è l'insieme delle funzioni <math>\alpha</math> definite su <math>I</math> a valori nell'unione disgiunta dei moduli <math>M_i</math> tali che <math>\alpha(i)\in M_i</math>, ma non si annulla necessariamente per tutti gli indici ''i'' tranne un numero finito di essi (come avviene per la somma diretta). Se <math>I</math> è finito somma diretta e prodotto diretto si equivalgono. Se si identifica ognuno dei moduli <math>M_i</math> con il sottomodulo della somma diretta costituito da tutte le funzioni che si annullano per tutti gli indici tranne l'''i''-esimo, ogni elemento <math>x</math> della somma diretta può essere scritto in modo unico come una somma di finiti elementi dei moduli <math>M_i</math>.

* Le somme dirette sono commutative e associative, nel senso che l'ordine in cui sono formate è ininfluente.

* Il gruppo degli [[Omomorfismo|omomorfismi]] ''R''-lineari definiti dalla somma diretta a qualche ''R''-modulo sinistro <math>L</math> è [[isomorfismo|isomorfo]] in modo naturale al prodotto diretto dei gruppi di omomorfismi ''R''-lineari definiti da <math>M_i</math> a <math>L</math>:
:<math>\operatorname{Hom}_R\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_R\left(M_i,L\right)</math>
:Quindi, vi è un omomorfismo <math>\tau</math> dal membro sinistro al membro destro della relazione: <math>\tau(\theta)(i)</math> è l'omomorfismo ''R''-lineare che manda <math>x \in M_i \to \theta(x)</math> (sfruttando l'inclusione naturale di <math>M_i</math> nella somma diretta). L'omomorfismo inverso di <math>\tau</math> è definito come:

:<math> \tau^{-1}(\beta)(\alpha) = \sum_{i\in I} \beta(i)(\alpha(i))</math>

:per ogni <math>\alpha</math> nella somma diretta dei moduli <math>M_i</math>. Si nota che la definizione di <math>\tau^{-1}</math> ha senso in quanto <math>\alpha(i)</math> è nulla per tutti gli ''i'' tranne che un numero finito, e quindi la somma è finita. In particolare, lo [[spazio duale]] della somma diretta di spazi vettoriali è isomorfo al prodotto diretto dei duali di tali spazi.
*La somma diretta finita di moduli è un [[biprodotto]]. Infatti, se:
:<math>p_k: A_1 \oplus \cdots \oplus A_n \to A_k</math>
:sono le mappe di proiezione canoniche e:
:<math>i_k: A_k \mapsto A_1 \oplus \cdots \oplus A_n </math>
:sono le mappe di inclusione, allora:
:<math>i_1 \circ p_1 + \cdots + i_n \circ p_n</math>
:è uguale al morfismo identità di <math>A_1 \oplus \cdots \oplus A_n</math>, mentre:
:<math>p_k \circ i_l</math>
:è il morfismo identità di <math>A_k</math> nel caso <math>l=k</math>, ed è la mappa nulla altrimenti.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}
* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}
* {{en}} Ayres, F. Jr. ''Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices''. New York: Schaum, 1962.
* {{en}} Rosen, K. H. (Ed.). ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics''. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000. 

== Voci correlate ==
* [[Anello (algebra)]]
* [[Formula di Grassmann]]
* [[Gruppo abeliano]] 
* [[Modulo (algebra)]] 
* [[Prodotto diretto]]
* [[Proiezione (geometria)]]
* [[Sottospazio ortogonale]]
* [[Sottospazio vettoriale]]

==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Direct sum|autore= M.Sh. Tsalenko}}
* {{MathWorld|DirectSum|Direct Sum}}
* {{MathWorld|ModuleDirectSum|Module Direct Sum}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Algebra lineare]]
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]