Visualizza wikitesto di Numero di Reynolds

{{C|Controllare su fonti attendibili i valori limite dei numeri di Reynolds per le varie geometrie|fisica|ottobre 2010}}

Il '''numero di Reynolds''' (abbreviato in '''Re''') è un [[numero adimensionale]] usato in [[fluidodinamica]], proporzionale al rapporto tra le [[forza d'inerzia|forze d'inerzia]] e le [[viscosità|forze viscose]].

Prende il nome da [[Osborne Reynolds]], che lo introdusse nel [[1883]] eseguendo per la prima volta in modo sistematico esperimenti sul flusso all'interno di tubi a sezione circolare trasparente ad asse rettilineo nel quale circolava un flusso a [[portata]] costante, nel quale, per mezzo di un ago, veniva iniettato un colorante in modo da evidenziare il regime di flusso.

== Definizione ==
Nel caso più generale il numero di Reynolds può essere definito come :<ref>{{en}} [http://scienceworld.wolfram.com/physics/ReynoldsNumber.html scienceworld.wolfram.com, Reynolds Number]</ref>

:<math> \mathrm{Re} = {\rho \langle v \rangle d \over \mu} = {\langle v \rangle d \over \mathcal D_V}</math>

dove:
* ρ è la [[massa volumica]] o densità (kg/m<sup>3</sup>);
* ''<v>'' è la [[velocità macroscopica]] (media) (m/s);
* ''d'' è una lunghezza caratteristica del fenomeno considerato (ad esempio nel caso del moto di un fluido in una tubazione corrisponde al diametro del tubo, mentre nel caso di un profilo alare corrisponde alla lunghezza della corda) (m);
* μ è la [[viscosità#Viscosità dinamica|viscosità dinamica]] (Pa·s o N·s/m<sup>2</sup> o kg/(m·s));
* <math>\mathcal D_V</math> è la [[diffusività cinematica]] (m<sup>2</sup>/s).

=== Derivazione dalle equazioni di Navier-Stokes ===
Il numero di Reynolds può essere ricavato dalle [[equazioni di Navier-Stokes]] per fluidi incomprimibili, in forma adimensionale. Queste possono essere ricavate, dall'equazione originale (considerando per semplicità una generica accelerazione esterna di volume ''g'')
:<math>\rho \left( \frac {\partial \mathbf{v}} {\partial t} +  \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}</math>

operando semplici sostituzioni che rendano adimensionali i termini che in essa compaiono, e precisamente:
:<math>\vec v' = \frac {\vec v} {U} , p' = \frac {p}{\rho U^2} , x' = \frac {x}{L}</math>

dove ''U'' e ''L'' corrispondono a quelli definiti in precedenza, si ottiene per gli operatori
:<math>\frac {\partial}{\partial t'} = \frac {L}{U} \frac {\partial} {\partial t} </math>   e   <math>\nabla' = L \nabla</math> 

per cui l'equazione diventa:
:<math>\rho \frac {U^2}{L} \left( \frac {\partial \mathbf{v'}} {\partial t'} +  \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} \right) = - \frac {\rho U^2} {L} \nabla' p' + \mu \frac {U} {L^2} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \rho \mathbf{g}</math>

Moltiplicando l'intera equazione per <math>\frac {L} {\rho U^2}</math> e definendo <math>\mathbf{g'}=\mathbf{g} \frac {L} {U^2}</math> si ottiene :
:<math>\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho L U} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{g'}</math>

Quindi l'equazione può essere scritta:

:<math>\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{1}{Re} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{g'}</math>

== Interpretazione fisica ==
Il numero di Reynolds rappresenta fisicamente il rapporto tra le forze d'inerzia e quelle viscose agenti su una particella fluida che si muove con velocità ''U'' all'interno dello stesso fluido:

:<math> \mathrm{Re} = F_i/F_\nu </math>

La forza inerziale infatti vale:

:<math> F_i = m \, a \simeq \rho S L \, \frac{L}{t^2} </math>

quella viscosa invece:

:<math> F_\nu = \frac{\mu S \Delta U}{\Delta L} \simeq \frac{\mu S L}{(Lt)} </math>

il rapporto tra le due forze fornisce l'espressione generale del numero di Reynolds:

:<math> Re = \rho L \, \frac{L}{t} \, \frac{1}{\mu} = \frac{\rho L U}{\mu} </math>

Viene definito '''numero di Reynolds critico''' il valore del numero di Reynolds in corrispondenza del quale si ha il passaggio da regime laminare al regime di transizione.<ref>http://pcque.unica.it/dispense/Appunti%20Laboratorio.pdf</ref>

== Applicazioni ==
Il numero di Reynolds consente di valutare se il flusso di scorrimento di un [[fluido]] è in un [[regime laminare]] (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o in un [[regime turbolento]] (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro). Tale passaggio tra regime laminare e regime turbolento può essere previsto sfruttando il [[diagramma di Moody]], con il quale può essere calcolato il [[attrito|coefficiente di attrito viscoso]] a partire dai valori del numero di Reynolds e della [[scabrezza relativa]].

I valori del numero di Reynolds sono da considerarsi "bassi" o "elevati" relativamente a uno specifico sistema, in cui siano fissate:
* la geometria del corpo investito dal flusso;
* la natura del fluido;
* le condizioni operative ([[temperatura]] e [[pressione]]) alle quali avviene l'esperienza.

=== Dipendenza dalla geometria del sistema ===
Considerando un determinato fluido a fissate condizioni di [[temperatura]] e [[pressione]] (quindi mantenendo costanti la densità e la viscosità nell'espressione del numero di Reynolds), i valori limite ricavati nell'esperienza di Reynolds valgono solo per la specifica geometria considerata, in cui il fluido è fatto passare sulla superficie esterna di un tubo cilindrico ad asse rettilineo, in direzione perpendicolare all'asse del tubo.

In particolare, il valore del numero di Reynolds che separa regime laminare e regime turbolento dipende dalla forma del corpo (o dell'insieme di corpi) in corrispondenza del quale passa il fluido e dall'orientamento del corpo rispetto al flusso (con l'eccezione dei corpi sferici, essendo simmetrici in tutte le direzioni).

Quindi se si considera ad esempio il caso di un fluido passante sulla superficie esterna di una sfera, un tubo, un cubo, o un insieme di tubi, si avrà per ogni caso un diverso numero di Reynolds al quale avviene la transizione laminare/turbolento.

Nella tabella che segue sono raccolti alcuni valori limite del numero di Reynolds per diverse geometrie:<ref>{{Cita web |url=http://www.diiar.polimi.it/franz/MdF/dispense/MdF_parteI.pdf |titolo=Copia archiviata |accesso=29 ottobre 2010 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20091229100401/http://www.diiar.polimi.it/franz/MdF/dispense/MdF_parteI.pdf |dataarchivio=29 dicembre 2009 |urlmorto=sì }}</ref>

{| class="wikitable"
! Geometria !! Regime laminare !! Regime di transizione !! Regime turbolento !! Rappresentazione della geometria
|-
| Flusso attorno a una lamina piana,<br />in direzione parallela all'asse della lamina || Re < 5×10<sup>5</sup> || 5×10<sup>5</sup> < Re < 10<sup>7</sup> || Re > 10<sup>7</sup> || [[File:Flow plate.svg|center|200px]]
|-
| Flusso attorno a un cilindro,<br />in direzione perpendicolare all'asse del cilindro<ref>Rappresentazione del sistema in regime laminare: in rosso è indicata la sezione del cilindro, attorno al quale scorre il fluido, rappresentato da alcune sue [[Linea di flusso|linee di flusso]] (in blu).</ref> || Re < 2×10<sup>5</sup> || Re ≅ 2×10<sup>5</sup> || Re > 2×10<sup>5</sup> || [[File:Potential cylinder.svg|center|200px]]
|-
| Flusso attorno a una sfera || Re < 2×10<sup>5</sup> || Re ≅ 2×10<sup>5</sup> || Re > 2×10<sup>5</sup> || [[File:Potential cylinder.svg|center|200px]]
|-
| Flusso all'interno di un tubo cilindrico || Re < 2300 || 2300 < Re < 4000 || Re > 4000 || [[File:Laminar and turbulent flows.svg|center|200px]]
|}

==== Flusso in un tubo circolare ====
Nel caso di un fluido all'interno di un tubo avente sezione circolare<ref>{{Cita libro|nome=Focardi,|cognome=Sergio.|titolo=Fisica generale : meccanica e termodinamica|url=https://www.worldcat.org/oclc/883543794|edizione=2. ed|data=2014|editore=CEA|OCLC=883543794|ISBN=9788808182159}}</ref>:
* per valori <math>\mathrm{Re} \le 1\,000</math> si ha [[flusso laminare]];
* per valori <math>1\,000 \le \mathrm{Re} \le 2\,000</math> si attraversa il [[regime di transizione]];
* per valori <math>\mathrm{Re} \ge 2\,000</math> si ha [[flusso turbolento]].

=== Dipendenza dalla velocità del fluido ===
Avendo fissato la geometria del sistema, la [[Composizione chimica|composizione]] del fluido, la temperatura e la pressione, il numero di Reynolds dipende direttamente dalla velocità del fluido; quindi un fluido in regime laminare possiede una velocità minore rispetto allo stesso fluido in regime turbolento, o in altre parole, il passaggio tra regime laminare e regime turbolento si manifesta aumentando la velocità del fluido.

Ad esempio nel caso di un fluido che scorre all'interno di un tubo, il passaggio al regime turbolento si può ottenere aumentando il [[numero di giri]] di una [[pompa]] posizionata a monte del condotto.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro| R. Byron | Bird | Transport Phenomena | 2005 | Wiley |New York| | coautori= Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot |||ed= 2 ||lingua= inglese|isbn=0-470-11539-4}}
* {{cita libro| Frank P. | Incropera | Fundamentals of Heat and Mass Transfer | 2006 | Wiley ||| coautori= David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine |||ed= 6 ||lingua= inglese|isbn=0-471-45728-0}}

== Voci correlate ==
* [[Equazioni di Navier-Stokes]]
* [[Regime laminare]]
* [[Regime turbolento]]
* [[Diagramma di Moody]]
* [[Scia di von Kármán]]
* [[Equazione di Colebrook]]
* [[Legge di Stokes]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Gruppi adimensionali}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|aviazione|ingegneria|meccanica|metrologia}}

[[Categoria:Gruppi adimensionali|Reynolds]]