Visualizza wikitesto di Matrice invertibile

In [[matematica]], in particolare in [[algebra lineare]], una [[matrice quadrata]] è detta '''invertibile''', o '''regolare''', se esiste un'altra matrice tale che il [[moltiplicazione di matrici|prodotto matriciale]] tra le due restituisce la [[matrice identità]].

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni <math> n\times n </math> è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta [[Gruppo generale lineare]] ed è indicata con il simbolo <math>\mathrm{GL}(n)</math>.

==Definizione==
Una [[matrice quadrata]] <math>A_{n \times n}</math> è detta invertibile se esiste una matrice <math>B_{n \times n}</math> tale che:<ref name=def>{{Cita|S. Lang|Pag. 68|lang}}.</ref>

:<math>AB = BA = I_n</math>

dove <math>I_n</math> denota la [[matrice identità]] <math>{n \times n}</math> e la moltiplicazione usata è l'ordinaria [[moltiplicazione di matrici]].

Se è questo il caso, allora la matrice <math> B </math> è univocamente determinata da <math> A </math> ed è chiamata l'''inversa'' di <math> A </math>, indicata con <math> A^{-1} </math>.

Nella definizione, le matrici <math>A</math> e <math>B</math> hanno valori in un [[anello con unità]].

== Definizioni equivalenti ==
Una [[matrice]] <math>A</math> è ''singolare'' se ha [[determinante]] uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se <math>A</math> ha valori in un [[campo (matematica)|campo]], come ad esempio quello dei numeri [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]], la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia <math> A </math> una matrice quadrata <math>{n \times n}</math> con valori in un [[campo (matematica)|campo]] <math> \Bbbk </math> (ad esempio, il campo dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]]).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice <math>A</math> invertibile:

*Esiste una matrice <math>B_{n \times n}</math> tale che <math> AB =BA = I_n </math>.
*Il [[determinante]] non è nullo: <math> \det A \neq 0 </math>. 
*Il [[rango di una matrice|rango]] di <math> A </math> è <math> n </math>.
*La [[matrice trasposta|trasposta]] <math> A^T </math> è una matrice invertibile.
*L'[[sistema di equazioni lineari|equazione]] <math> Ax = 0 </math> (con <math> x </math> e <math> 0 </math> [[Matrice|vettori colonna]] in <math> \Bbbk^n </math>) ha solamente la soluzione banale <math> x = 0 </math>.
*L'[[sistema di equazioni lineari|equazione]] <math> Ax = b </math> ha esattamente una soluzione per ogni <math> b </math> in <math> \Bbbk^n </math>. 
*Le colonne di <math> A </math> sono [[linearmente indipendenti]].
*Le righe di <math> A </math> sono [[linearmente indipendenti]].
*Le colonne di <math> A </math> [[insieme di generatori|generano]] <math> \Bbbk^n </math>. 
*Le colonne di <math> A </math> formano una [[base di uno spazio vettoriale|base]] di <math>\Bbbk^n </math>. 
*L'[[applicazione lineare]] <math> L_A </math> da <math> \Bbbk^n </math> in <math> \Bbbk^n</math> data da: <math>L_A:x \mapsto Ax</math> è [[funzione biiettiva|biiettiva]].
*Il numero 0 non è un [[autovalore]] di <math> A </math>.
*<math> A </math> è trasformabile nella [[matrice identità]] <math> I_n </math> tramite l'[[algoritmo di Gauss-Jordan]].
*<math> A </math> è trasformabile mediante [[algoritmo di Gauss-Jordan]] in una [[matrice a scalini]] con <math> n </math> [[pivot (matematica)|pivot]].

== Proprietà ==
{{vedi anche|Gruppo generale lineare}}
* L'inversa di una matrice invertibile <math> A </math> è essa stessa invertibile, e si ha:<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 22|kunze}}.</ref>

:<math> (A^{-1})^{-1} = A \ </math>

* Il prodotto di due matrici invertibili <math> A_{n\times n} </math> e <math> B_{n\times n} </math> è ancora invertibile, con inversa data da:

:<math> (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \ </math>

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili <math> n\times n </math> costituisce un [[gruppo (matematica)|gruppo]] con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare <math>\mathrm{GL}(n)</math>.

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei [[numeri reali]]. Ad esempio:

* Se <math> A </math> e <math> B </math> sono invertibili, l'equazione <math> AX = B </math> ha una sola soluzione, data da <math> X = A^{-1}B </math>. Analogamente <math> XA = B </math> ha come unica soluzione <math> X = BA^{-1} </math>.

=== Matrici reali ===
Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici <math> n \times n</math> è uno [[spazio vettoriale]] [[isomorfismo|isomorfo]] a <math> \R^{n^2} </math>, e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un [[insieme nullo]], cioè ha [[misura di Lebesgue]] zero, essendo l'insieme degli [[radice (matematica)|zeri]] della funzione [[determinante]], che è un [[polinomio]]. Intuitivamente, questo vuol dire che la [[probabilità]] che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

=== Matrice invertibile in un anello ===
Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un [[anello commutativo]]. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo [[determinante]] è una [[anello (algebra)#Elementi invertibili|unità]], ossia è invertibile, in questo anello.

== Sistemi lineari ==
{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}
Se <math>A</math> è invertibile, l'equazione <math>AX=B</math> ha una sola soluzione, data da <math>X=A^{-1}B</math>. Analogamente <math>XA=B</math> ha come unica soluzione <math>X=BA^{-1}</math>.

Nel caso particolare in cui <math>X</math> e <math>B</math> abbiano dimensioni <math>{n \times 1}</math>, ovvero siano [[Matrice|vettori colonna]], l'equazione <math>AX=B</math> rappresenta un sistema lineare, dove <math>A</math> è la matrice dei coefficienti.<ref>Un ragionamento analogo vale anche per <math>XA=B</math>, ma qui <math>X</math> e <math>B</math> devono essere vettori riga.</ref>

<math>A</math> è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 23|kunze}}.</ref>

== Calcolo della matrice inversa ==
Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile <math> A </math>.

=== Matrici di ordine 2 ===
La matrice inversa di una [[matrice 2 per 2]] invertibile:

: <math>\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}</math>

è la seguente:

: <math>\begin{pmatrix} \frac{{d}}{{a}{d} - {b}{c}} & \frac{{-b}}{{a
}{d} - {b}{c}}\\ \frac{{-c}}{{a}{d} -{b}{c}} & \frac{{a}} 
{{a}{d} - {b}{c}} \end{pmatrix} =
\frac{1}{{a}{d} - {b}{c}}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}</math>

=== Metodo della matrice dei cofattori ===
{{vedi anche|Matrice dei cofattori|Cofattore (matematica)}}
Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice <math>A</math> quadrata e invertibile:

:<math>A = \begin{pmatrix}\;
[A]_{1,1} & \ldots & [A]_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\; [A]_{n,1} & \ldots & [A]_{n,n} \\
\end{pmatrix}</math>

la sua inversa <math>A^{-1}</math> è la seguente:

:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\cdot (\mathrm{cof}\;A)^T</math>

dove <math>\det(A)</math> è il [[determinante]] di <math>A</math>, la matrice <math>\mathrm{cof}A</math> è la [[matrice dei cofattori]] (o ''dei complementi algebrici'') e l'esponente <math>T</math> indica l'operazione di [[Matrice trasposta|trasposizione]] di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno <math>(-1)^{i+j}</math> è il seguente:

:<math>\begin{pmatrix}
+ & - & + & \ldots\\
- & + & - & \ldots\\
+ & - & + & \ldots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}</math>

=== Algoritmo di Gauss-Jordan ===
L'[[algoritmo di Gauss-Jordan]], può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia <math>A</math> una matrice invertibile. Si costruisce la matrice <math>B = (A|I)</math> con <math>n</math> righe e <math>2n</math> colonne affiancando <math>A</math> e la [[matrice identità]] <math>I</math>. A questo punto si applica l'[[algoritmo di Gauss-Jordan]] alla nuova <math>B</math>. Questo algoritmo trasforma la matrice <math>B</math> in una matrice a scalini, che sarà del tipo <math>(I|C)</math>. La matrice <math>C</math> così trovata è proprio l'inversa di <math>A</math>.

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

:<math> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </math>

è la matrice:

:<math> C = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} </math>

Infatti:

:<math> \begin{pmatrix} 1 & 2 & \| & 1 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 2 & 3 & \| & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & -1 & \| & -2 & 1 \end{pmatrix} \to </math>

:<math> \begin{pmatrix} -2 & -4 & \| & -2 & 0 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix}
\to \begin{pmatrix} -2 & 0 & \| & 6 & -4 \\ 0 & 4 & \| & 8 & -4 \end{pmatrix}
\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & \| & -3 & 2 \\ 0 & 1 & \| & 2 & -1 \end{pmatrix} </math>

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per <math>-2</math>, nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per <math>-4</math>, nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per <math>-2</math> e la seconda per <math>4</math>. In questo modo si è partiti da una matrice di <math>(A | I)</math> e si è arrivati a <math>(I | C)</math>. Si ha che <math>C</math> è l'inversa di <math>A</math>.

===Inversa di una matrice partizionata===
Data una [[Matrice a blocchi|matrice partizionata a blocchi]]:

:<math>A = 
\begin{pmatrix}
 A_{11} & A_{12}\\
 A_{21} & A_{22}
\end{pmatrix}
</math>

in cui le sottomatrici sulla diagonale <math>(A_{11}</math> e <math>A_{22})</math> sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di <math>A</math> risulta uguale a:

:<math>A^{-1} = 
\begin{pmatrix}
 A_{11}^{-1}(I + A_{12}\, B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1}) & - A_{11}^{-1} A_{12}\,B_{22}\\
 - B_{22} A_{21}A_{11}^{-1} & B_{22}
\end{pmatrix}
</math>

dove <math>I</math> è una [[matrice identità]] di ordine appropriato e:

:<math>B_{22} = (A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}</math>

ovvero:

:<math>A^{-1} = 
\begin{pmatrix}
 B_{11} & - B_{11} A_{12} A_{22}^{-1}\\
 - A_{22}^{-1} A_{21} B_{11}  & A_{22}^{-1}(I + A_{21} B_{11} A_{12}A_{22}^{-1})
\end{pmatrix}
</math>

con:

:<math>B_{11} = (A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}</math>

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}
* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}
* {{Cita libro|cognome1=Horn |nome1=Roger A. |cognome2=Johnson |nome2=Charles R. |titolo=Matrix Analysis |editore=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-38632-6 |anno=1985 |p=14 |lingua=en }}
* {{Cita libro|titolo=Introduction to linear algebra
|edizione=3rd
|nome1=Gilbert
|cognome1=Strang
|editore=SIAM
|anno=2003
|isbn=0-9614088-9-8
|p=71
|url=http://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC|lingua=en
}}, [http://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC&pg=PA71 Chapter 2, page 71]
* {{Cita libro|cognome= Bernstein
  |nome= Dennis
  |titolo= Matrix Mathematics
  |editore= Princeton University Press
  |anno= 2005
  |pp= 44
  | isbn = 0-691-11802-7 |lingua= en
  }}

== Voci correlate ==
*[[Cofattore (matematica)]]
*[[Gruppo generale lineare]]
*[[Matrice dei cofattori]]
*[[Matrice quadrata]]
*[[Matrice identità]]
*[[Matrice involutoria]]
*[[Moltiplicazione di matrici]]
*[[Sistema di equazioni lineari]]
*[[Pseudo-inversa]]

== Collegamenti esterni ==
* {{springerEOM|titolo=Inversion of a matrix|autore=  Kh.D. Ikramov }}
* {{MathWorld|2=Nonsingular Matrix}}
* {{en}}[http://books.google.se/books?id=jgEiuHlTCYcC&printsec=frontcover Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas] at [[Google books]]
* {{cita web|1=http://www.solvingequations.net|2=Equations Solver Online|lingua=en|accesso=24 aprile 2019|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160318125916/http://www.solvingequations.net/|dataarchivio=18 marzo 2016|urlmorto=sì}}
* {{cita web|url=https://www.khanacademy.org/video/inverse-matrix--part-1?playlist=Linear+Algebra|titolo=Lecture on Inverse Matrices by Khan Academy|lingua=en|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20111103045802/http://www.khanacademy.org/video/inverse-matrix--part-1?playlist=Linear%20Algebra|dataarchivio=3 novembre 2011}}
* {{cita web|http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-3-multiplication-and-inverse-matrices/|Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices by MIT|lingua=en}}
* {{en}}[http://netlib.org/lapack/ LAPACK] is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
* {{cita web|http://evinive.altervista.org|Programma che calcola l'inversa di una matrice}}
* {{cita web | 1 = http://www.parallelknoppix.info/it/inversioneMatrici2.asp | 2 = Programma parallelo in MPI per calcolare l'inversa di una matrice | accesso = 10 aprile 2011 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20120113164146/http://www.parallelknoppix.info/it/inversioneMatrici2.asp | dataarchivio = 13 gennaio 2012 | urlmorto = sì }}

{{Algebra lineare}}
{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matrici quadrate|Invertibile]]