Visualizza wikitesto di Equazione di Steinhart-Hart

L<nowiki>'</nowiki>'''equazione di Steinhart-Hart''' è un [[modello matematico]] della [[resistenza elettrica]] di un [[semiconduttore]] al variare della [[temperatura]].<br />
È stata sviluppata da John S. Steinhart e Stanley R. Hart per essere usata con i [[termistore|termistori di tipo NTC]] dove fornisce una buona precisione.

L'equazione è:
:<math>{1 \over T} = A + B \ln(R) + C [\ln(R)]^3 </math>
dove:
* T è la temperatura (in [[kelvin]])
* R è la resistenza (in [[ohm]])
* A, B e C sono i coefficienti di Steinhart-Hart che variano a seconda del tipo e modello di termistore e il range di [[temperatura]] scelto.
Nella sua forma più generale l'equazione contiene anche il termine <math> [\ln(R)]^2</math>, ma tale coefficiente viene spesso trascurato perché è molto più piccolo degli altri.

== Uso dell'equazione ==
L'equazione è spesso utilizzata per ricavare una precisa temperatura di un termistore poiché fornisce una maggiore approssimazione della temperatura effettiva di [[Termistore#Equazione con parametro B|equazioni più semplici]] ed è utilizzabile per l'intera gamma di temperature di lavoro del sensore.

I coefficienti di Steinhart–Hart sono di solito forniti dai costruttori di termistori.

Se i coefficienti di Steinhart-Hart non sono disponibili ma si possono fare tre misure accurate di resistenza e temperatura, i coefficienti si ricavano da un [[sistema di equazioni lineari|sistema di tre equazioni lineari]].

Note le resistenze in tre punti ''R<sub>1</sub>'', ''R<sub>2</sub>'', ''R<sub>3</sub>'' e le tre temperature corrispondenti (t''<sub>1</sub>'', t''<sub>2</sub>'', t''<sub>3</sub>'' espresse in [[Celsius|Celsius (°C)]] il sistema diventa:

:<math>{1 \over t_1+273,15} = A + B \ln(R_1) + C (\ln(R_1))^3 </math>

:<math>{1 \over t_2+273,15} = A + B \ln(R_2) + C (\ln(R_2))^3 </math>

:<math>{1 \over t_3+273,15} = A + B \ln(R_3) + C (\ln(R_3))^3 </math>

nelle tre incognite ''A'', ''B'' e ''C''.

Ponendo prima:

:<math>L_1=\ln(R_1)</math>,
:<math>L_2=\ln(R_2)</math>
e
:<math>L_3=\ln(R_3)</math>,

:<math>Y_1 = {1 \over t_1 + 273,15}</math>
:<math>Y_2 = {1 \over t_2 + 273,15}</math>
:<math>Y_3 = {1 \over t_3 + 273,15}</math>,

poi:

:<math>\gamma_2={Y_2-Y_1\over L_2-L_1}</math>&nbsp; e <math>\gamma_3={Y_3-Y_1\over L_3-L_1}</math>
:seguono le soluzioni:

:<math>\Rightarrow C=\left( { \gamma_3 - \gamma_2 \over L_3 - L_2} \right)\times\left({1 \over L_1 + L_2 + L_3}\right)</math>

:<math>\Rightarrow B=\gamma_2 - C \cdot (L_1^2+L_1 \cdot L_2+L_2^2)</math>

:<math>\Rightarrow A=Y_1 - (B+L_1^2 \cdot C) \cdot L_1</math>

== L'equazione inversa ==
Per trovare la resistenza di un semiconduttore, nota la temperatura e i tre coefficienti (''A'', ''B'' e ''C''), si deve usare la forma inversa dell'equazione di Steinhart-Hart.

Per risolvere l'equazione rispetto a ''R'' si osserva che essa è un'[[equazione di terzo grado]] con l'incognita ''ln (R)''.

<math>R = exp\left(\sqrt[3]{x - {y \over 2}} - \sqrt[3]{x + {y \over 2}}\right)</math>

dove:

:<math>y = {A - {1 \over T} \over C}</math>

:<math>x = \sqrt{\left({B \over 3C}\right)^3 + {y^2 \over 4}}</math>

== John S. Steinhart e Stanley R. Hart ==
L'equazione prende il nome da John S. Steinhart e Stanley R. Hart che per primi la pubblicarono nel 1968<ref>{{cita pubblicazione
 
 | autore = John S. Steinhart
 | coautori = Stanley R. Hart
 | data = 
 | anno = 1968
 | mese = 
 | titolo = Calibration curves for thermistors
 | rivista = Deep Sea Research
 | volume = 15
 | numero = 
 | pagine =pp. 497-503
 | doi = 
 | id = 
 | url = 
 | lingua = inglese
 | accesso = 
 | cid =
 }}</ref>.
Il professor Steinhart (1929-2003), socio della ''American Geophysical Union'' (organizzazione non profit di geofisici statunitensi) e della ''[[American Association for the Advancement of Science]]'', è stato un membro di facoltà dell'[[Università del Wisconsin-Madison]] nel periodo 1969-1991<ref>{{en}}[http://www.secfac.wisc.edu/senate/2004/0405/1775(mem_res).pdf University of Wisconsin (Madison) Faculty Document 1775 (5 April 2004)] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100610052139/http://www.secfac.wisc.edu/senate/2004/0405/1775(mem_res).pdf |data=10 giugno 2010 }}</ref>.

Il Dottor Hart, scienziato senior del ''Woods Hole Oceanographic Institution'' (organizzazione non profit privata di ricerca e istruzione superiore) dal 1989 e membro della ''Geological Society of America'', dell<nowiki>'</nowiki>''American Geophysical Union'', della ''Geochemical Society'' e della ''European Association for Geochemistry'',<ref>{{en}}[http://www.whoi.edu/science/GG/people/shart/index.htm Pagina del dottor Hart su ''Woods Hole Oceanographic Institution'']</ref> lavorava con il professor Steinhart al ''Carnegie Institution for Science'' (Washington) quando svilupparono l'equazione.

== Note ==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[Termistore]]
== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|http://www.daycounter.com/Calculators/Steinhart-Hart-Thermistor-Calculator.phtml|Calcolatore ''on line'' per l'equazione di Steinhart-Hart (anche a quattro coefficienti) su Daycounter, Inc.|lingua=en}}

[[Categoria:Equazioni nella fisica]]