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L<nowiki>'</nowiki>'''equazione di Dirac''' è l'[[equazione d'onda]] che descrive in modo [[Relatività ristretta|relativisticamente]] [[Invarianza (fisica)|invariante]] il moto dei [[fermione|fermioni]].

È stata formulata nel [[1928]] da [[Paul Dirac]] nel tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'[[equazione di Klein-Gordon]] (la più immediata formulazione relativistica dell'[[equazione di Schrödinger]]), che presenta una difficoltà nell'interpretazione della [[funzione d'onda]] portando a [[densità di probabilità]] che possono essere anche negative o [[zero|nulle]], oltre ad ammettere soluzioni a [[energia]] negativa.

L'equazione di Dirac descrive le particelle mediante uno [[spinore]] composto da quattro funzioni d'onda ([[spinore di Dirac]]), naturale estensione dello spinore a due componenti non relativistico. È stata un passo fondamentale verso una teoria unificata dei principi della [[meccanica quantistica]] e della [[relatività ristretta]] (cosiddetta [[Teoria quantistica dei campi|meccanica quantistica relativistica]]), permettendo di definire una [[densità di probabilità]] sempre positiva. Inoltre ha consentito di spiegare la [[struttura fine]] dello spettro dell'[[atomo di idrogeno]] e il [[fattore giromagnetico]] dell'[[elettrone]].

Anche l'equazione di Dirac ammette soluzioni a energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano gli stati a energia negativa, inaccessibili per via del [[principio di esclusione di Pauli]] ([[mare di Dirac]]). Dopo lo sviluppo della [[teoria quantistica dei campi]] tali stati  furono identificati con le [[Antiparticella|antiparticelle]], legate alle particelle ordinarie attraverso la [[simmetria CPT]], risolvendo alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac.

== Equazione di Klein–Gordon ==
{{vedi anche|Equazione di Klein-Gordon}}
L’equazione di Klein–Gordon è stato il primo tentativo di rendere [[relatività ristretta|relativistica]] l'[[equazione di Schrödinger]], cioè di inserire il formalismo della [[relatività ristretta]] all'interno della [[meccanica quantistica]]. Tuttavia essa non ammette un'interpretazione probabilistica naturale, oltre a non considerare una delle caratteristiche fondamentali di una particella quantistica, ovvero lo [[spin]].

===Formulazione===
Partendo dall'equazione di Schrödinger, che descrive il moto delle particelle scalari con [[spin]] nullo

:<math>i \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi</math>

con

:<math>\hat H = -\hbar^2 \frac {\nabla^2}{2m} + \hat U \left ( \mathbf{ x} \right ) </math>

per realizzare un'equazione quantistica relativistica per l'evoluzione della funzione d'onda di una particella libera si può procedere sostituendo all'espressione non relativistica per l'operatore [[energia cinetica]]:

:<math>\hat E = \frac {\hat p^2}{2m}</math>

l'espressione relativistica per l'energia totale (che tiene conto dell'operatore [[energia]] cinetica e della [[Massa (fisica)|massa]] a riposo):

:<math>\hat E = \sqrt {\hat p^2 c^2 + m^2 c^4}</math>

Si potrebbe allora semplicemente cercare di quantizzare gli operatori in modo simile a quanto fatto con l'equazione di Schrödinger:

:<math>\hat E \psi = \sqrt {\hat p^2 c^2 + m^2 c^4}  \psi</math>

ma così, quando si va a sostituire all'impulso l'[[operatore (matematica)|operatore]] [[nabla]], ci si trova di fronte al problema di definire la [[radice quadrata]] di un operatore differenziale.

Per ovviare a questo inconveniente si può proporre una sorta di quadrato di quest'ultima equazione:

:<math>\hat E^2 \psi = \left ( \hat p^2 c^2 + m^2 c^4 \right ) \psi</math>

che, esplicitando l'operatore energia e l'operatore impulso, diventa:

:<math>\left ( \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right ) \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0</math>

Proposta per la prima volta da [[Oskar Klein]] e [[Walter Gordon]], in notazione covariante assume una forma molto compatta:<ref>usando la segnatura (+,-,-,-)</ref>

:<math>\partial_\mu \partial^\mu \psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0</math>

Definendo l'[[operatore d'Alembertiano]] come:

:<math> \Box \equiv \partial_\mu \partial^\mu </math> 

l'equazione si riscrive:

:<math>\left(\Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\right)\psi=0</math>

=== Inconvenienti ===
Il vantaggio dell'equazione di Klein-Gordon è quello di trattare [[tempo (fisica)|tempo]] e [[Spazio (fisica)|spazio]] secondo la geometria dello spazio di Minkowski, mentre l'operatore d'Alembertiano risulta essere un invariante per trasformazioni di Lorentz. Per contro, però, ci sono alcuni "inconvenienti": innanzitutto quello che come soluzioni possono esistere anche stati a energia negativa e che l'interpretazione probabilistica della [[funzione d'onda]] risulta problematica. Secondo l'[[interpretazione di Copenaghen]], infatti, il [[valore assoluto|modulo]] quadro della funzione d'onda rappresenta la [[densità]] di [[probabilità]]:

:<math> | \psi \left ( \vec r , t \right ) |^2 = \rho \left ( \vec r , t \right )_{S} </math>

e quindi si deve avere la certezza di trovare la particella se si considera tutto lo spazio, cioè l'integrale della densità di probabilità deve essere uguale a uno

:<math>\int \operatorname d^3 r | \psi \left ( \vec r , t \right ) |^2 = 1</math>

La densità non soddisfa solo la condizione di normalizzazione, ma anche una [[equazione di continuità]]. La probabilità di trovare la particella all'interno di un dato volume nello spazio deve però essere relativisticamente invariante: mentre nell'espressione sopra <math>| \psi \left ( \vec r , t \right ) |^2</math> non si trasforma, il volume <math>d^3 r</math> non è invariante per trasformazioni di Lorentz.

Si può quindi introdurre una densità di probabilità:

:<math>\rho \left ( \vec r , t \right )_{KG} = \frac {i \hbar}{2mc^2} \left [ \bar {\psi} \frac {\partial \psi}{\partial t} - {\psi} \frac {\partial \bar \psi}{\partial t} \right ]</math>

come componente temporale di un quadrivettore

:<math>J_\mu \left ( \vec r , t \right ) = \frac {i \hbar}{2mc^2} \left [ \bar {\psi} \frac {\partial \psi}{\partial x_\mu} - {\psi} \frac {\partial \bar \psi}{\partial x_\mu} \right ]</math>

che soddisfa l'equazione di continuità

:<math>\partial^{\mu} J_\mu = 0</math>.

Tuttavia la densità ''ρ<sub>KG</sub>'' non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o [[zero|nulla]], dato che non è più legata la norma di un vettore nello spazio di Hilbert come nel caso della densità di probabilità non-relativistica derivata dell'equazione di Schrödinger.

Si osservi per i bosoni massivi con [[spin]] 1, le equazioni del campo sono descritte dalla [[Lagrangiana di Proca]].

== Equazione di Dirac ==
=== Formulazione ===
Utilizziamo la notazione:

:<math>g^{\mu \nu}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)=
\text{diag}(1,-1,-1,-1)</math>
e le [[unità naturali]] (<math> \hbar = 1, c = 1</math>).

[[Paul Dirac|Dirac]], partendo dall'[[equazione di Klein-Gordon]]:

:<math>\left ( \partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right ) \Phi = 0</math>

propone una sorta di [[radice quadrata]] di quest'ultima.

Si supponga, infatti, di poter scrivere:

:<math>E = \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta = \alpha_x \cdot p_x +\alpha_y \cdot p_y  +\alpha_z \cdot p_z + m \cdot \beta </math>

(nel secondo membro abbiamo utilizzato la [[notazione di Einstein]] e la convenzione che con le lettere i,j,k indicano sommatorie da 1 a 3 per le componenti spaziali)

il cui quadrato dà:

:<math>p^2 + m^2 = E^2 = \left ( \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta  \right )^2</math>

svolgendo i calcoli otteniamo

:<math>
 \left ( \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta  \right )^2 =
 \alpha_i \cdot p_i \cdot \alpha_j \cdot p_j
+ \alpha_i \cdot p_i \cdot m \cdot \beta
+ m \cdot \beta \cdot \alpha_i \cdot p_i + m^2 \cdot \beta^2
</math>

:<math>p_i</math>, <math>p_j</math> e m sono numeri, quindi commutano con tutte le quantità nell'equazione, otteniamo

:<math>p^2+m^2 = E^2 = \alpha_i \cdot \alpha_j \cdot p_i \cdot p_j  + ( \alpha_i \beta + \beta \alpha_i ) m \cdot p_i + m^2 \cdot \beta^2 =</math>

:<math>={1 \over 2} \left( \{ \alpha_i, \alpha_j \} + \left[ \alpha_i,\alpha_j \right] \right) p_i \cdot p_j + m^2 \cdot \beta^2 + \{ \beta, \alpha_i \} m \cdot p_i
</math>

(Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di [[anticommutatore]] ed il fatto che il prodotto di due [[tensori]] può esser scritto come la metà della somma commutatore anticommutatore)

Il tensore <math> p_i p_j </math> è simmetrico, per questo annulla il commutatore <math>\alpha</math> quindi rimane

:<math>p^2+m^2=E^2={1 \over 2}\{ \alpha_i, \alpha_j \} p_i \cdot p_j + m^2 \beta^2 + \{ \beta, \alpha_i \}\cdot m \cdot p_i</math>

Questa uguaglianza porta ad alcune condizioni sui coefficienti:

:<math>\alpha_i^2 = \beta^2 = 1 </math>

:<math>\{ \beta, \alpha_i \} = 0 </math>

:<math> \{ \alpha_i,\alpha_j \} = 2 \delta_{i,j} </math>

Appare evidente, pertanto, che questi coefficienti sono in realtà [[matrice|matrici]] e non [[numero|numeri]]. La prima scelta potrebbero essere le [[matrici di Pauli]], che però sono tre, mentre le matrici da determinare sono 4. Si può suggerire, allora, di creare una base matriciale composta dalle tre matrici di Pauli con l'aggiunta dell'[[matrice identica|identità]]: questa è una base completa dello spazio di matrici 2&times;2, ma se si pone ad esempio ''β''=''I'', si può verificare che, ad esempio, ''α<sub>x</sub>β'' + ''βα<sub>x</sub>'' = 2''α<sub>x</sub>''=0, ma ciò non è possibile, perché la matrice ''α<sub>x</sub>'' è sicuramente non nulla. Per ovviare a questo inconveniente fu allora necessario passare ad una dimensione maggiore, costruendo delle matrici 4&times;4. Quelle che Dirac scelse furono (rappresentazione chirale delle matrici ''γ''):

:<math>\alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\alpha_y = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\alpha_z = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_z \\ \sigma_z & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}</math>
dove
:<math>\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>
:<math>I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Ponendo poi:

:<math>\gamma^0 \equiv \beta , \gamma^i \equiv \beta \alpha^i</math>

l'equazione viene scritta con le '''gamma''' o '''[[matrici di Dirac]]''':

:<math>\left ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m \right ) \psi = 0</math>

dove

:<math>\partial_\mu \equiv \frac {\partial}{\partial x^\mu}</math>

mentre ''i'' è l'[[unità immaginaria]].

In questo modo le soluzioni dell'equazione del moto sono dei [[vettore (matematica)|vettori]] a quattro componenti: una soluzione particolare prende il nome di [[spinore di Dirac]]. Inoltre la densità di probabilità, in questo modo, risulta essere sempre positiva:

:<math>\rho \left ( \vec x, t \right ) = \sum_{i=1}^4 \left | \psi_i \left ( \vec x, t \right ) \right |^2 \ge 0</math>

Non si riescono però a eliminare le energie negative, che restano quindi come possibili autovalori dell'equazione. Per interpretare questo risultato dell'equazione, Dirac propose un'interpretazione secondo cui esiste un mare di fermioni alcuni dei quali sono in un [[livello energetico|livello]] eccitato, e dunque hanno un'energia positiva, ma in tale mare esistono delle [[Lacuna (fisica)|lacune]] che dunque sono ad energia negativa; quando una particella in uno stato eccitato incontra una lacuna, ecco che cade in uno stato non eccitato emettendo della radiazione elettromagnetica (un fenomeno simile alla diseccitazione di atomo in cui un elettrone cade in un livello energetico a meno energia emettendo un [[fotone]], sempre che nella nuvola elettronica dell'atomo esista una lacuna). Tale fenomeno è molto simile all'[[annichilazione]] di una particella con un'[[antiparticella]] come per esempio l'[[annichilazione elettrone-positrone|annichilazione]] di un elettrone con un [[positrone]], con conseguente emissione di due fotoni, che può essere descritto dall'equazione di Dirac, là dove l'antiparticella viene descritta dalla soluzione dell'equazione di Dirac con energia negativa. Per cui, in un certo senso, si può affermare che Dirac predisse l'esistenza dell'antimateria e il fenomeno dell'annichilazione con la materia, sebbene le sue idee sull'esistenza del mare di fermioni siano state rigettate dalla comunità scientifica perché portavano a delle incongruenze interne alla teoria.

=== Proprietà dell'hamiltoniana di Dirac ===
L'hamiltoniana di Dirac per una particella libera, <math>H=\alpha_n p_n +m \beta</math>, non commuta con il [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]] e nemmeno con il [[spin|momento angolare di spin]], tuttavia commuta con l'[[operatore momento angolare totale]] e con l'operatore di [[elicità]].

==== Commutazione con il momento angolare orbitale ====
Il momento angolare orbitale può essere scritto come <math> \vec L= \vec r \wedge \vec p </math> 
Possiamo riscrivere la componente i-esima del momento come <math> L_i=\varepsilon_{i,j,k} r_j \cdot p_k</math>, in questa espressione vale la [[notazione di Einstein]] e <math>\varepsilon_{i,j,k}</math> è il tensore completamente antisimmetrico (o [[tensore di Levi-Civita]]) a tre indici (i,j,k).

Calcoliamo il [[commutatore (matematica)|commutatore]] con una componente del momento angolare:

:<math>[H,L_i]=[\alpha_n p_n + m \beta,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=[\alpha_n p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]+[m \beta,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]</math>

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la seguente proprietà del commutatore <math>[a+b,c]=[a,c]+[b,c]</math>.

Tutte le quantità nelle equazioni sono operatori, quindi la commutazione non è immediata.

Il secondo termine è nullo poiché <math>\beta</math> non è nello stesso [[spazio di Hilbert]] di r e p, o per essere più rigorosi, il termine con r e p è moltiplicato per una matrice identità nello spazio di <math>\beta</math> e quindi commuta con <math>\beta</math> stesso.

Il primo termine, sfruttando le proprietà del commutatore, può essere scritto come
:<math>
[\alpha_n p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=\alpha_n [p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]+[\alpha_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]p_n
</math>

Con la stessa argomentazione usata per <math>\beta</math> possiamo elidere il secondo termine.

Rimane
:<math>[H,L_i]=\alpha_n [p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} [p_n, r_j p_k-r_k p_j]</math>

dove abbiamo esplicitato la scrittura del momento angolare. Con l'asterisco sulla <math>\varepsilon</math> indichiamo che non utilizzeremo più la notazione di Einstein per questo simbolo e i suoi indici, ma vale ancora per tutti gli altri simboli e relativi indici.

Il segno meno in <math>r_j p_k-r_k p_j</math> viene dal fatto che il tensore antisimmetrico in un caso sarebbe positivo e nell'altro negativo, non ci interessa quale dei due, dato che una scelta opportuna del tensore a fattor comune correggerebbe il segno.

Utilizzando l'antisimmetria del commutatore <math>[a,b]=-[b,a]</math> possiamo scrivere:
:<math>[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} [r_j p_k-r_k p_j,p_n]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j p_k,p_n]-[r_k p_j,p_n])</math>

Adesso scomponiamo i commutatori come abbiamo fatto in precedenza:
:<math>[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j p_k,p_n]-[r_k p_j,p_n])=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} (r_j [p_k,p_n]+[r_j,p_n]p_k -r_k[p_j,p_n]-[r_k,p_n]p_j)</math>

Utilizziamo adesso le [[relazioni di commutazione]] <math>[x_i,p_j]=i \delta_{i,j}</math> e <math>[x_i,x_j]=[p_i,p_j]=0</math>. Svolgendo i calcoli
:<math>[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j,p_n]p_k-[r_k,p_n]p_j)=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} i (\delta_{j,n} p_k-\delta_{k,n} p_j)= \varepsilon^*_{i,j,k} i (\alpha_k p_j-\alpha_j p_k)</math>

Ora notiamo che nell'ultimo termine abbiamo una sottrazione che inverte gli indici, questo è equivalente a sommare gli indici ripetuti sul tensore di Levi-Civita.

Il commutatore cercato è quindi:

:<math>[H,L_i]=i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j</math>

Ad esempio calcoliamo:<math>[H,L_3]=[H,L_z]</math>

Questo sarà:
:<math>[H,L_3]=[H,L_z]=i \varepsilon_{3,j,k} \alpha_k p_j=i (\varepsilon_{3,1,2} \alpha_2 p_1 +\varepsilon_{3,2,1} \alpha_1 p_2)=i (\alpha_2 p_1-\alpha_1 p_2)</math>

==== Commutazione con il momento angolare di spin ====
L'hamiltoniana di Dirac non commuta con il momento angolare di spin.

La k-esima componente del momento angolare di spin può essere scritto come una [[matrice a blocchi]]

:<math>\Sigma_k=\left(\begin{matrix} \sigma_k & 0 \\ 0 & \sigma_k \end{matrix}\right)</math>

Ricordando le regole di commutazione delle [[matrici di Pauli]] possiamo scrivere

:<math>\sigma_k=- {i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [\sigma_i,\sigma_j]</math>

(per portare <math>\varepsilon</math> al primo membro abbiamo moltiplicato da ambo le parti per il [[Simbolo di Levi-Civita|tensore di Levi-Civita]], inoltre specifichiamo che non deve essere applicata la [[notazione di Einstein]])

Sostituendo nella matrice <math>\Sigma</math> troviamo

:<math>\Sigma_k =-{i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( \begin{matrix} [\sigma_i,\sigma_j] & 0 \\ 0 & [\sigma_i,\sigma_j] \end{matrix} \right)</math>

Lasciamo in sospeso il calcolo e ricaviamo il commutatore <math>[\alpha_i,\alpha_j]</math>

:<math>[\alpha_i,\alpha_j]=
\left[ \left( \begin{matrix}0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{matrix} \right) \right]=
\left( \begin{matrix} [\sigma_i,\sigma_j] & 0 \\ 0 & [\sigma_i,\sigma_j] \end{matrix} \right)
</math>

troviamo che ci restituisce proprio la matrice precedente

Quindi troviamo la definizione del momento angolare di spin scritto tramite le matrici <math>\alpha</math>

:<math>\Sigma_k= - {i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [\alpha_i,\alpha_j]</math>

Adesso calcoliamo il commutatore

:<math>[H,\Sigma_k]=-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [H,\alpha_i \alpha_j-\alpha_j \alpha_i]=-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( 
[H,\alpha_i \alpha_j]-[H,\alpha_j \alpha_i] \right) =</math>

:<math>= -{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( \alpha_i [H,\alpha_j]+[H,\alpha_i] \alpha_j-[H,\alpha_j]\alpha_i-\alpha_j [H,\alpha_i] \right)</math>

Per svolgere questi calcoli abbiamo utilizzato le [[Commutatore (matematica)|regole di commutazione]].
Nello svolgimento successivo ci serviremo di queste uguaglianze che discendono direttamente dagli anticommutatori delle matrici <math>\alpha</math>

:<math> \begin{matrix}
{\alpha_i,\alpha_j}=2 \delta_{i,j} & [\alpha_i,\alpha_j]=2(\alpha_i \alpha_j-\delta_{i,j})\\
{\beta,\alpha_i}=0 & [\beta,\alpha_i]=2\beta\alpha_i
\end{matrix}</math>

Scriviamo esplicitamente l'hamiltoniana di Dirac

:<math> [H,\Sigma_k]=</math>

:<math>= -{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left(
\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]
+[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i] \alpha_j
-[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]\alpha_i
-\alpha_j [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i]
\right)</math>

Per chiarezza dobbiamo dividere l'ultimo termine in quattro membri e procedere separatamente.
Calcoliamo il primo termine

:<math>\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]=\alpha_i [\alpha_n p_n,\alpha_j]+\alpha_i [ m \beta,\alpha_j]=\alpha_i \alpha_n [p_n,\alpha_j]
+\alpha_i[\alpha_n,\alpha_j]p_n+m \alpha_i [\beta, \alpha_j]</math>

Ricordiamo che <math>p_n</math> è un numero poiché è la n-esima componente dell'impulso, quindi il suo commutatore con una matrice è zero.
Per gli altri commutatori utilizziamo le regole di commutazione elencate in precedenza

:<math>\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j] = 
2 \alpha_i (\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j}) p_n+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
</math>

Calcoliamo il secondo termine

:<math>[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i] \alpha_j=
[\alpha_n p_n,\alpha_i] \alpha_j+[m \beta,\alpha_i] \alpha_j=
\alpha_n [p_n,\alpha_i] \alpha_j+[\alpha_n,\alpha_i] p_n \alpha_j+m [ \beta,\alpha_i] \alpha_j=
0+2 (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n \alpha_j+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
</math>

Calcoliamo il terzo termine

:<math>-[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]\alpha_i=
-[\alpha_n p_n,\alpha_j]\alpha_i-[m \beta,\alpha_j]\alpha_i=
-[\alpha_n,\alpha_j] p_n \alpha_i-\alpha_n [p_n,\alpha_j]\alpha_i-m[\beta,\alpha_j]\alpha_i=
-2(\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j})p_n \alpha_i - 0 -2 m \beta \alpha_j \alpha_i
</math>

Calcoliamo il quarto termine

:<math>
-\alpha_j [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i]=
-\alpha_j [\alpha_n p_n,\alpha_i]-\alpha_j [m \beta,\alpha_i]=
-\alpha_j [\alpha_n ,\alpha_i]p_n -\alpha_j \alpha_n [p_n,\alpha_i]-\alpha_j m [\beta,\alpha_i]=
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n -\alpha_j \alpha_n 0 - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i =
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i
</math>

Adesso sommiamo di nuovo tutti i termini

:<math>
2 \alpha_i (\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j}) p_n+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n \alpha_j+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2(\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j})p_n \alpha_i - 2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i
</math>

Sviluppiamo le parentesi e riordiniamo i termini

:<math>
2 \alpha_i \alpha_n \alpha_j p_n 
-2 \alpha_i \delta_{n,j} p_n
+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 \alpha_n \alpha_i p_n \alpha_j
-2\delta_{n,i} p_n \alpha_j
+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2\alpha_n \alpha_j p_n \alpha_i
+2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 \alpha_j \alpha_n \alpha_i p_n 
+ 2 \alpha_j \delta_{n,i} p_n 
- 2 \alpha_j m \beta \alpha_i=</math>

:<math>
 2 \alpha_i \alpha_n \alpha_j p_n 
+2 \alpha_n \alpha_i \alpha_j p_n
-2\alpha_n \alpha_j \alpha_i p_n
-2 \alpha_j \alpha_n \alpha_i p_n

+2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 \delta_{n,i} p_n \alpha_j
+2 \delta_{n,i} p_n \alpha_j

+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 m \alpha_j \beta \alpha_i

</math>

I termini con la delta si semplificano tra loro perché uguali e opposti, quel che rimane può essere riscritto come

:<math>
 2 (\alpha_i \alpha_n + \alpha_n \alpha_i) \alpha_j p_n 
-2 (\alpha_n \alpha_j + \alpha_j \alpha_n) \alpha_i p_n

+2 m ( \alpha_i \beta + \beta \alpha_i ) \alpha_j
-2 m ( \beta \alpha_j + \alpha_j \beta ) \alpha_i
= </math>

:<math>
 2 \{ \alpha_i,\alpha_n \} \alpha_j p_n
-2 \{ \alpha_n,\alpha_j \} \alpha_i p_n
+2 m \{ \beta,\alpha_i \} \alpha_j
-2 m \{ \beta,\alpha_j \} \alpha_i
=
 4 \delta_{i,n} \alpha_j p_n
-4 \delta_{n,j} \alpha_i p_n
+2 m 0 \alpha_j
-2 m 0 \alpha_i
=
 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i )
</math>

Adesso rimettiamo il risultato del calcolo fatto finora nel commutatore da cui eravamo partiti, otteniamo

:<math> [H,\Sigma_k]=
-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left[ 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i ) \right]
</math>

Ovvero applicando la delta otteniamo il commutatore cercato

:<math> [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon^*_{i,j,k} \left( p_i \alpha_j - p_j \alpha_i  \right)</math>

Utilizzando la notazione di Einstein può essere riscritta come

:<math> [H,\Sigma_k]= - 2 \cdot i \cdot \varepsilon_{i,j,k} \cdot p_i \cdot \alpha_j</math>

In conclusione il momento angolare di spin non commuta con l'hamiltoniana di Dirac.

==== Commutazione con il momento angolare totale ====
L'hamiltoniana di Dirac commuta con il momento angolare totale.

Dai calcoli svolti nei paragrafi precedenti si vede che abbiamo per il momento angolare orbitale

:<math>[H,L_i]=i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j</math>

mentre per quello di spin

:<math> [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} p_i \alpha_j</math>

Dobbiamo prima di tutto riportare lo stesso indice per entrambe le notazioni.
Cambiamo quello di spin, per farlo conviene spostare l'indice k, per ogni permutazione il tensore cambia segno ma poiché lo fa due volte il segno resta lo stesso.

:<math> [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_j p_i= - 2 i \varepsilon_{k,i,j} p_i \alpha_j</math>

Notiamo che adesso, anche se le lettere non corrispondono (ma non importa poiché sono indici muti), occupano le stesse posizioni, quindi le due scritture sono identiche, ovvero

:<math> [H,\Sigma_i]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j</math>

Il nostro momento angolare, per essere conservato deve essere

:<math>J_i=L_i+{1\over 2} \Sigma_i</math>

In questo modo il commutatore con H sarà

:<math>[H,J]=\left[H,L_i+{1\over 2}\Sigma_i \right]=\left[H,L_i\right]+{1\over 2}\left[H,\Sigma_i \right]
= i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j+ {1\over 2}( - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j )=0</math>

che è identicamente nullo per ogni componente.

== Note ==
<references />

== Bibliografia ==
* [[Richard Feynman|Feynman, R. P.]], ''QED: La strana teoria della luce e della materia'', Adelphi, ISBN 88-459-0719-8
* [[Claude Cohen-Tannoudji]], Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, ''Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics'' ([[John Wiley & Sons]] 1997) ISBN 0-471-18433-0
* Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., ''The Theory of Photons and Electrons'' (Springer-Verlag, 1980)
* Feynman, R. P. ''Quantum Electrodynamics''. Perseus Publishing, 1998. ISBN 0-201-36075-6
* Simone Piccardi [http://piccardi.gnulinux.it/files/2011/02/relmecquant.pdf Introduzione alla Meccanica Quantistica Relativistica]
* [[Luciano Maiani]] Omar Benhar [http://chimera.roma1.infn.it/OMAR Meccanica Quantistica Relativistica]
* Lorenzo Monacelli [http://lorenzomonacelli.altervista.org/Univer/MeccanicaQuantisticaRelativistica.pdf Meccanica quantistica relativistica]

== Voci correlate ==
* [[Algebra di Clifford]]
* [[Bosone (fisica)]]
* [[Bosoni vettore]]
* [[Bosoni vettori assiali]]
* [[Diagramma di Feynman]]
* [[Elettrodinamica quantistica]]
* [[Fotoni]]
* [[Lista delle particelle]]
* [[Matrici di Dirac]]
* [[Modello Standard]]
* [[Notazione slash di Feynman]]
* [[Propagatore]]
* [[Scattering]]
* [[Equazione di Weyl]]
* [[Teoria quantistica dei campi]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* Marcello Ciafaloni {{collegamento interrotto|1=[http://www3.unifi.it/clfisi/upload/sub/laurea_specialistica/dispense/CFT_Intro.pdf Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi] |date=novembre 2017 |bot=InternetArchiveBot }} (Università di Firenze)
* [[Roberto Casalbuoni]] [http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/elettrodinamica.pdf Elettrodinamica Quantistica] (Università di Firenze)
* Roberto Casalbuoni [http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/filosofia.pdf Teoria dei campi: Storia e Introduzione] (Università di Firenze, 2001)
*[http://www.mathpages.com/home/kmath654/kmath654.htm The Dirac Equation] at MathPages
*{{cita web|http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nature_Dirac.pdf|The Nature of the Dirac Equation, its solutions and Spin}}
*{{cita web|http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm|Dirac equation for a spin ½ particle}}
*[http://www.quantumfieldtheory.info Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] click on Chap. 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators.
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