Visualizza wikitesto di Distribuzione normale

{{Variabile casuale|
nome = Variabile casuale normale (o di Gauss)|
tipo = densità|
pdf_image =[[File:Normal distribution pdf.png|325px|Funzione di densità di una variabile casuale normale]]<br /><small>La linea in verde si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata</small>|
cdf_image =[[File:Normal distribution cdf.png|325px|Funzione di ripartizione di una variabile casuale normale o semi-campana di Gauss]]<br /><small>I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente</small>|
parametri = <math>\mu~\in~\mathbb{R}</math>, <math>\sigma^{2}~\in~(0,\infty)</math>|
supporto = <math>\mathbb{R}</math>|
pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}</math>|
cdf =<math>\frac{1}{2} \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) </math>|
media = <math>\mu</math>|
mediana = <math>\mu</math>|
moda = <math>\mu</math>|
varianza = <math>\sigma^2</math>|
skewness = <math>0</math>|
curtosi = <math>0</math>|
entropia =<math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>|
momgenfun =<math>{M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}</math>|
funzcar =<math>\varphi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>|
}}

Nella [[teoria della probabilità]] la '''distribuzione normale''', o '''di Gauss''' (o '''gaussiana''') dal nome del matematico tedesco [[Carl Friederich Gauss]], è una [[distribuzione di probabilità]] [[distribuzione continua|continua]] che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere [[variabile casuale|variabili casuali]] a valori [[numero reale|reali]] che tendono a concentrarsi attorno a un singolo [[valor medio]]. Il grafico della [[funzione di densità di probabilità]] associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come '''campana di Gauss''' (o anche come '''curva degli errori''', '''curva a campana''', '''ogiva''').

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel [[Teoremi centrali del limite|teorema del limite centrale]]. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di ''n'' variabili casuali con media e varianza finite [[Limite (matematica)|tende]] a una distribuzione normale al tendere di ''n'' all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in [[statistica]] e nelle [[scienze naturali]] e [[scienze sociali|sociali]]<ref>[http://findarticles.com/p/articles/mi_g2699/is_0002/ai_2699000241 Gale Encyclopedia of Psychology — Normal Distribution]</ref> come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media μ e la [[varianza]] σ<sup>2</sup>, ed è indicata tradizionalmente con:

:<math>\ N(\mu;\sigma^2).</math><ref>{{cita|Ross|p. 170|Ross, 2003}}.</ref>

== Metodologia ==
La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente [[funzione di densità di probabilità]], cui spesso si fa riferimento con la dizione ''curva di Gauss'' o ''gaussiana'':
<!-- :f(t) =  e<sup>-(x-μ)²/(2σ²) </sup> / σ √(2Π) -->
:<math>f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}} ~\mbox{ con }~ x \in \mathbb{R} </math>.
Dove <math>\mu</math> è il [[valore atteso]] e <math>\sigma^2</math> la [[varianza]].<br />
Per dimostrare che <math>p_X(x)</math> è effettivamente una [[funzione di densità di probabilità]] si ricorre innanzi tutto alla 
[[standardizzazione (statistica)]] della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

:<math>Z = \frac{x-\mu}{\sigma} </math>,

dove la variabile risultante <math>-\infty<Z<+\infty</math> ha anch'essa distribuzione normale con parametri <math>\mu=0</math> e <math>\sigma=1</math>. L'[[integrale]] della [[funzione di densità di probabilità]] della variabile casuale standardizzata <math>Z</math> è il seguente:

:<math>S = \int_{-\infty}^{+\infty}p_Z(z)dz=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz </math>

Dato che deve necessariamente valere la condizione <math>S=1</math>, allora risulta anche <math>S^2=1</math> quindi:

:<math>S^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}p_Z(z)dz\int_{-\infty}^{+\infty}p_Y(y)dy </math>

:<math>S^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{z^2+y^2}{2}}dzdy </math>

dove anche la [[variabile casuale]] <math>Y</math> ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo [[integrale doppio]] si ricorre alle [[coordinate polari]] <math>z=\rho\cos\theta</math> e <math>y=\rho\sin\theta</math>, dove <math>\rho\geq 0</math> e <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math>. La [[matrice jacobiana]] della trasformazione è

:<math>J(\rho,\theta)=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial z}{\partial\rho} & \frac{\partial z}{\partial\theta} \\ \\ \frac{\partial y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{array}\right]</math>,

il cui [[determinante]] è pari a <math>|J(\rho,\theta)|=\rho(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho</math>. Sostituendo nell'[[integrale]] di cui sopra si ottiene:

:<math>S^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{\rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{2}}|J(\rho,\theta)| d\theta d\rho=\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{\rho^2}{2}}\rho\ d\rho =1</math>

La sua [[funzione generatrice dei momenti]] è
<!-- :g(x) = exp( μx + σ²x²/2 ) -->
:<math>g(x) = e^{ \mu x + \sigma ^2 \frac{x^2}{2} } </math>

Il [[valore atteso]] e la [[varianza]] (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile esprimere l'integrale della <math>p_X(x)</math> in forma chiusa mediante [[funzione elementare|funzioni elementari]], è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua [[Funzione di ripartizione della variabile casuale Normale|funzione di ripartizione]]. 
I più usati sono:

68,3% = P{ μ - 1,00 σ < X <  μ + 1,00 σ }<br />
95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }<br />
95,5% = P{ μ - 2,00 σ < X <  μ + 2,00 σ }<br />
99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }<br />
99,7% = P{ μ - 3,00 σ < X <  μ + 3,00 σ }

Essendo <math>p_X(x)</math> una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi,
per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la [[variabile casuale t di Student|t di Student]],
la [[Distribuzione chi quadrato|Chi Quadrato]] e la [[variabile casuale F di Snedecor|F di Fisher-Snedecor]], nonché le loro
"varianti" non centrali ([[variabile casuale t non centrale|t non centrale]], [[variabile casuale chi quadrato non centrale|chi quadrato non centrale]] e [[variabile casuale F non centrale|F non centrale]]).

== Teoremi ==
=== Combinazione lineare di variabili gaussiane ===
;Se: X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>, ..., X<sub>n</sub> sono ''n'' variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con [[valore atteso]] μ<sub>i</sub> e [[varianza]] σ²<sub>i</sub>,
;allora: la variabile casuale Y = α<sub>1</sub>X<sub>1</sub> + α<sub>2</sub>X<sub>2</sub> + ... + α<sub>n</sub>X<sub>n</sub> è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso μ = α<sub>1</sub>μ<sub>1</sub> + α<sub>2</sub>μ<sub>2</sub> + ... + α<sub>n</sub>μ<sub>n</sub> e varianza σ² = α²<sub>1</sub>σ²<sub>1</sub> + α²<sub>2</sub>σ²<sub>2</sub> + ... + α²<sub>n</sub>σ²<sub>n</sub>

Altri teoremi: [[Teorema di Cochran]]

=== Relazioni con altre variabili casuali ===
==== La Normale come derivazione da altre voci ====
I [[Teoremi centrali del limite|teoremi del limite centrale]] sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.
----
Se X è distribuita come una [[variabile casuale binomiale]] con ''n'' molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere ''n>''30), e approssimativamente ''np''>10,
allora la ''binomiale'' può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a ''np'' e varianza uguale a ''npq'': N(''np''&nbsp;;&nbsp;''npq'').
----
Se X è distribuita come una [[variabile casuale poissoniana]] con il parametro λ molto grande (orientativamente λ > 10), allora
la ''Poissoniana'' può essere approssimata con una
Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N(λ&nbsp;;&nbsp;λ).

==== Variabili casuali derivate dalla Normale ====
Date n distribuzioni normali 
Z<sub>1</sub>(0;1); Z<sub>2</sub>(0;1); ... Z<sub>n</sub>(0;1) 
con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro.
allora
:χ²<sub>n</sub>= Z<sub>1</sub>² + Z<sub>2</sub>² + .... +Z<sub>n</sub>²
è una [[Variabile casuale chi quadro]] con n gradi di libertà.
----
Siano Z<sub>1</sub>, Z<sub>2</sub>, Z<sub>3</sub>..., Z<sub>n</sub>
variabili casuali indipendenti distribuite come una
Normale con
media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre
a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>..., a<sub>n</sub>
delle costanti tali che
:<math>\lambda=\sum{a_i^2}</math>
allora si indica con χ'² la [[Variabile casuale chi quadrato non centrale|v.c. chi quadro non centrale]] con ''n'' gradi di libertà costruita come
:<math>\chi'^2=\sum(Z_i+a_i)^2</math>

----
Se Z~N(0;1) e X~[[Distribuzione chi quadrato|χ²]]<sub>n</sub>, allora T=Z/√X/n è distribuita come una [[Variabile casuale t di Student|t di Student]] con ''n'' gradi di libertà.
----
Se Z~N(0;1) e <math>T=\beta \left(\tfrac{\alpha Z}{2} + \sqrt{\tfrac{(\alpha Z)^2}{4}+1}\right)^2</math>
allora T è una [[Variabile casuale di Birnbaum-Saunders|v.c. di Birnbaum-Saunders]] con i parametri <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>.

=== La normale nell'inferenza bayesiana ===
==== Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale ====
Nell'ambito dell'[[inferenza bayesiana]] si trova la seguente relazione tra la normale e la [[distribuzione Gamma]].

Se X è una distribuzione normale
con parametri μ e 1/θ
:<math>f(x|\theta)=N( x | \mu; 1/\theta ) \ </math>
ed il parametro θ ha una distribuzione Γ con i parametri ''a'' e ''b''
:<math>g(\theta)=\Gamma(\theta|a;b) \ </math>
allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri ''a+1/2'' e ''b+(μ-x)<sup>2</sup>/2''
:<math>g(\theta|x)=\Gamma(\theta|a+1/2;b+(\mu-x)^2/2) \ </math>

==== Priori coniugati normale di una normale ====
Se X è distribuita come una v.c. normale
con parametri ''m'' e σ<sup>2</sup>
:<math>f(x|m)=N(x|m;1/r^2) \ </math>
e il parametro ''m'' è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri ''μ'' e ''σ<sup>2</sup>''
:<math>g(m)=N(m|\mu;\sigma^2) \ </math>
allora il parametro ''m'' è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri <math>(\sigma^2 \mu+r^2x)/(\sigma^2+r^2)</math> e <math>(\sigma^2r^2)/(\sigma^2+r^2)</math>
:<math>g(m|x)=N(m|(\sigma^2 \mu+r^2x)/(\sigma^2+r^2);(\sigma^2r^2)/(\sigma^2+r^2)) \ </math>

== Storia ==

[[Abraham de Moivre]], nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti<ref>{{Cita libro|nome=Tony|cognome=Crilly|titolo=50 grandi idee di matematica|url=https://books.google.it/books?id=4HSLDts2APUC&pg=PA140&lpg=PA140&dq=abraham+moivre+matematico+e+la+gaussiana+in+un+articolo+del+1733&source=bl&ots=kWl5LqJQPJ&sig=IMUwizkNkzJFJUNRPFNe8o_mJNU&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwiBx5eOna7SAhUOyWMKHSTbBugQ6AEIITAB#v=onepage&q=abraham%20moivre%20matematico%20e%20la%20gaussiana%20in%20un%20articolo%20del%201733&f=false|accesso=2017-02-26|data=2009-01-01|editore=EDIZIONI DEDALO|lingua=it|ISBN=9788822068095}}</ref>.
Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel [[gioco d'azzardo]] o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano [[Robert Adrain|Adrain]] pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente ed indipendentemente da Gauss<ref>{{cita pubblicazione
  | autore = Stephen M. Stigler | titolo = Mathematical Statistics in the Early States|anno = 1978
  | rivista = The Annals of Statistics| volume = 6 |numero = 2|pp = 239–265| doi = 10.1214/aos/1176344123 |lingua=en }}, p. 243</ref> I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da [[Cleveland Abbe]].<ref>Stephen M. Stigler, ''Mathematical Statistics in the Early States'', 1978, p. 244</ref>.

Nel 1835 [[Adolphe Quetelet|Quételet]] pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu [[Francis Galton|Galton]] a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la [[media (statistica)|media]] e la [[varianza]], dando così inizio alla [[statistica parametrica]].

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
* M. Sheldon Ross,''Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze''', Apogeo Trento, 2003

* M. Stephen Stigler,'' Mathematical Statistics in the Early States'', The Annals of Statistics v. 6 n.2 pp. 239–265, 1978

== Voci correlate ==
* [[Statistica]]
* [[Statistica parametrica]]
* [[Parametro (statistica)]]
* [[Funzione di ripartizione della variabile casuale normale]]
* [[Carl Friedrich Gauss]]
* v.c. [[variabile casuale binomiale|binomiale]] e [[variabile casuale poissoniana|poissoniana]]
* v.c. [[Distribuzione chi quadrato|χ²]], [[variabile casuale t di Student|t di Student]], [[variabile casuale F di Snedecor|F di Snedecor]]
* [[Variabile casuale]], [[variabile casuale continua]]
* [[Probabilità]]
* [[Integrale di Gauss]], [[integrale di Eulero]] (vedi anche [[Pierre Simon Laplace]])
* [[Funzione gaussiana]]
* [[Teorema di Cochran]]
* [[Test di Shapiro-Wilk]], test statistico per la verifica di normalità di un insieme di valori
* [[Curva di Hubbert]]
* [[Distribuzione normale inversa]]
* [[Distribuzione normale multivariata]]

== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

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[[Categoria:Teoria della probabilità]]