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[[File:Determinant Example.png|thumb|upright=1.4|Una [[trasformazione lineare]] del [[piano cartesiano]] è descritta da una [[matrice quadrata]] <math>2\times 2</math>. Il determinante della [[matrice]] fornisce delle informazioni sulla trasformazione: il valore assoluto descrive il cambiamento di area, mentre il segno descrive il cambiamento di [[orientazione]]. Nell'esempio qui riportato, la matrice ha determinante -1: quindi la trasformazione preserva le aree (un [[Quadrato (geometria)|quadrato]] di area 1 si trasforma in un [[parallelogramma]] di area 1) ma inverte l'orientazione del piano.]]

In [[algebra lineare]], il '''determinante''' di una [[matrice quadrata]] <math> A </math> è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della [[matrice]].

Esso viene generalmente indicato con <math>\det(A)</math> e, a volte, con <math>|A|</math>. Quest'ultima notazione è più compatta, ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una [[norma matriciale|norma]] della matrice.<ref name="mactutor1">La notazione <math>|\cdot|</math> fu introdotta per la prima volta nel 1841 dal matematico inglese [[Arthur Cayley]] ([http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor]).</ref>

Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei [[sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]], quindi nel [[calcolo infinitesimale]] a più dimensioni (ad esempio nello [[Jacobiano]]), nel [[calcolo tensoriale]], nella [[geometria differenziale]], nella [[teoria combinatoria]], ecc.

[[File:Determinant parallelepiped.svg|upright=1.4|thumb|Il volume di questo [[parallelepipedo]] è il valore assoluto del determinante della matrice <math>3\times 3</math> formata dai vettori <math>r_1, r_2</math> e <math>r_3</math>. Questa relazione fra volume e determinante è valida in qualsiasi dimensione.]]

Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata <math> A </math> di ordine <math> n </math> come [[trasformazione lineare]] di uno [[spazio vettoriale]] a <math> n </math> [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensioni]]: con questa interpretazione, il [[valore assoluto]] di <math>\det(A) </math> è il fattore con cui vengono modificati i [[volume|volumi]] degli oggetti contenuti nello spazio (anche se ciò è improprio senza considerare il significato di [[Misura (matematica)|misura]]). Se è diverso da zero, il [[segno (matematica)|segno]] del determinante indica inoltre se la trasformazione <math>A</math> preserva o cambia l'[[orientabilità|orientazione]] dello spazio rispetto agli assi di riferimento.

== Definizione ==
Il determinante di una [[matrice 2 per 2|matrice 2 × 2]] è pari a:
:<math>\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= ad-bc</math> 
Per definire il determinante di una generica matrice quadrata <math> n \times n </math> si possono seguire due approcci: quello assiomatico, che definisce il determinante come l'unica quantità che soddisfa alcuni assiomi, e quello costruttivo tramite una formula esplicita. Esistono poi vari metodi di calcolo che risultano più agevoli a seconda del contesto.

=== Definizione tramite assiomi ===
Sia <math> K^{n\times n} </math> lo [[spazio vettoriale]] delle matrici quadrate <math> n\times n </math> a valori nel [[campo (matematica)|campo]] <math> K </math> (ad esempio, il campo dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]]).

Il determinante è l'unica funzione <math> \det:K^{n\times n}\to K </math> avente le proprietà seguenti: 
* <math>\det I = 1 </math> dove la matrice <math> I </math> è la [[matrice identità]].
* Si comporta nel modo seguente rispetto all'[[Metodo di eliminazione di Gauss|algoritmo di Gauss-Jordan]]:
** se <math> B </math> è ottenuta scambiando due righe o due colonne di <math> A </math>, allora <math> \det B = -\det A </math>,
** se <math> B </math> è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di <math> A </math> per <math>k </math>, allora <math> \det B = k\det A </math>,
** se <math> B </math> è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di <math> A </math> a un'altra, allora <math> \det B = \det A </math>

Le proprietà elencate hanno un significato geometrico: sono le proprietà che deve verificare una funzione il cui valore assoluto è il volume del poliedro individuato dai vettori riga della matrice <math> B </math> e il cui segno è positivo se e solo se tali vettori sono equiorientati alla base canonica.

=== Definizione costruttiva ===
Il determinante di una matrice <math>A_{n\times n} </math> può essere definito in un modo più costruttivo, tramite la ''formula di Leibniz'':

:<math>\det(A) := \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}</math>

Nella formula, <math> S_n</math> è l'insieme di tutte le [[permutazione|permutazioni]] <math>\sigma</math> dell'insieme numerico <math> \{1,2,\ldots,n\}</math> e <math>\sgn(\sigma)</math> denota il [[permutazione|segno della permutazione]] (<math>+1</math> se <math>\sigma</math> è una [[permutazione pari]], −1 se è [[permutazione dispari|dispari]]).

Da questa formula si vede che il numero di elementi della sommatoria è uguale a <math>n!</math> (la cardinalità di <math>S_n</math>).

Per esempio, il determinante di una matrice {{nowrap|3 × 3}} ({{nowrap|1 = ''n'' = 3}}) è
: <math>\begin{align}

\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}

&=\sgn([1,2,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} + \sgn([1,3,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} + \sgn([2,1,3]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} \\ &+ \sgn([2,3,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \sgn([3,1,2]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} + \sgn([3,2,1]) \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i}

\\

&=\prod_{i=1}^n a_{i,[1,2,3]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[1,3,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[2,1,3]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[2,3,1]_i} + \prod_{i=1}^n a_{i,[3,1,2]_i} - \prod_{i=1}^n a_{i,[3,2,1]_i}

\\

&=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} \\
& \qquad +a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.

\end{align}</math>
In particolare:

* Se <math> n=1 </math>, il determinante di <math> A </math> è semplicemente:
:<math>\det(A) := a_{1,1}</math> 
* Se <math> n=2 </math>, si ottiene la formula già vista:
:<math>\det(A) := a_{1,1}a_{2,2} - a_{2,1}a_{1,2}</math> 
* Se <math> n=3 </math>, si ottiene:
:<math>
\det(A) := a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} -
          a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} \ </math>
Quest'ultima formula può essere memorizzata tramite la [[regola di Sarrus]] (che non è però estendibile ai casi <math> n>3 </math>).

La [[O-grande|complessità]] della definizione costruttiva (comprese la generazione delle permutazioni) è elevata:

:<math>n! \cdot ( 2n + 1 ) = O(N \cdot N!)</math>

== Metodi di calcolo ==
La definizione costruttiva del determinante è spesso complicata da usare per un calcolo concreto, perché si basa su una somma di ben <math>n!</math> addendi. Esistono altri algoritmi che consentono di calcolare il determinante più facilmente. Ciascun metodo ha una efficienza variabile, dipendente dalla grandezza della matrice e dalla presenza di zeri.

=== Matrici quadrate di ordine 2 ===
[[File:Determinant.jpg|thumb|upright=1.4|L'area del parallelogramma è il determinante della matrice]]
Il determinante di una [[matrice 2 per 2|matrice 2 × 2]] è pari a:

:<math>\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:= ad-bc</math>

Il [[valore assoluto]] di questa espressione è pari all'[[area]] del [[parallelogramma]] con vertici in <math> (0,0), (a,c), (b,d) </math> e <math> (a + b, c + d) </math>. Il segno del determinante (se questo è diverso da zero) dipende invece dall'ordine ciclico con cui compaiono i vertici del parallelogramma (il segno è negativo se il parallelogramma è stato "ribaltato", e positivo altrimenti).

Come spiegato più sotto, questa proprietà geometrica si estende anche in dimensioni maggiori di 2: il determinante di una matrice <math> 3 \times 3 </math> è ad esempio il [[volume]] del [[poliedro]] i cui vertici si ricavano dalle colonne della matrice con lo stesso procedimento visto.

=== Matrici quadrate di ordine 3 ===
[[File:Determinant 3x3 Example.svg|thumb|Calcolo del determinante di una matrice <math>3\times 3</math> tramite un metodo equivalente alla regola di Sarrus. Questo metodo '''non''' si estende a matrici più grandi.]]

Il determinante di una matrice 3 × 3  è pari a:

:<math>
\det
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i
\end{pmatrix}
 = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
</math>

Un metodo mnemonico per ricordare questa formula, espresso dalla [[regola di Sarrus]] (questo metodo '''non''' si estende a matrici più grandi), prevede di calcolare i prodotti dei termini sulle diagonali "continue". Ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne:

:<math>
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i 
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
 a & b \\
 d & e \\
 g & h
\end{matrix}
</math>

i prodotti delle componenti sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono <math>aei</math>, <math>bfg</math> e <math>cdh</math>, mentre sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) si trovano <math>gec</math>, <math>hfa</math>, <math>idb</math>. Il determinante della matrice è esattamente la differenza tra la somma dei primi tre termini <math>(aei + bfg + cdh)</math> e la somma degli ultimi tre <math>(gec + hfa + idb)</math>.

Notare che il valore del determinante equivale in questo caso al [[prodotto misto]] tra i vettori:

:<math>
\begin{pmatrix}
 a\\
 d\\
 g
\end{pmatrix} \quad ; \quad 
\begin{pmatrix}
b\\
e\\
h
\end{pmatrix} \quad ; \quad 
\begin{pmatrix}
c\\
f\\
i
\end{pmatrix}
</math>

e il suo [[valore assoluto]] equivale al volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come spigoli.

=== Sviluppo di Laplace ===
{{vedi anche|Teorema di Laplace}}
Lo sviluppo di Laplace è un metodo di calcolo del determinante, che risulta efficiente solo per matrici molto piccole o contenenti un gran numero di zeri<ref>Per una matrice <math> n \times n </math> ''piena'', ossia senza elementi nulli, si dovrebbero eseguire n! moltiplicazioni.</ref>. Si procede scegliendo una riga, la <math>i</math>-esima, tramite la formula:

: <math>\det(A) = \sum_{j=1}^n\ a_{i,j}C_{i,j}</math>

dove <math>C_{i,j}</math> è il [[sviluppo di Laplace|complemento algebrico]] della coppia <math> (i,j) </math>, cioè <math>C_{i,j}</math> è data da <math>(-1)^{i+j}</math> per il determinante ([[minore (algebra lineare)|minore]]) di ordine <math> n-1</math> ottenuto dalla matrice <math>A</math> eliminando la riga <math>i</math>-esima e la colonna <math>j</math>-esima.

Esiste uno sviluppo analogo anche lungo la <math>j</math>-esima colonna.

=== Algoritmo di Gauss ===
{{vedi anche|Metodo di eliminazione di Gauss}}
La definizione assiomatica fornisce un altro utile strumento di calcolo del determinante, che si basa su questi due principi:

* Il determinante di una [[matrice triangolare]] è semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale, cioè:

:<math>\det (A)= \prod_{i=1}^n a_{ii}</math>

* Usando l'[[algoritmo di Gauss]], è possibile trasformare ogni matrice in una [[matrice triangolare]] tramite [[mosse di Gauss]], il cui effetto sul determinante è determinato dagli assiomi.

=== Esempio ===
Supponiamo di voler calcolare il determinante di:

:<math>A = \begin{pmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{pmatrix}
</math>

Si può procedere direttamente tramite la definizione costruttiva:

:<math>\det(A)=(-2)\cdot 1 \cdot (-1) + (-3)\cdot 0 \cdot (-1) + 2\cdot 3\cdot 2 - (-3)\cdot 1 \cdot 2 - (-2)\cdot 3 \cdot 0 - 2\cdot (-1) \cdot (-1)</math>
::<math> = 2+0+12-(-6)-0-2 = 18</math>

Alternativamente si può utilizzare lo sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Conviene scegliere una riga o una colonna con molti zeri, in modo da ridurre gli addendi dello sviluppo; nel nostro caso sviluppiamo secondo la seconda colonna:

:<math>\det(A)=(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix}-1&3\\
2 &-1\end{pmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix}-2&-3\\
2&-1\end{pmatrix}</math>
::<math>=(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3)) = (-2)(-5)+8 = 18</math>

Lo sviluppo di Laplace può essere combinato con alcune mosse di Gauss. Ad esempio qui risulta particolarmente vantaggioso sommare la seconda colonna alla prima:

:<math>\begin{pmatrix}0&2&-3\\
0 &1 &3\\
2 &0 &-1\end{pmatrix}</math>

Questa mossa non cambia il determinante. Sviluppando lungo la prima colonna si ottiene quindi ancora:
:<math>\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{pmatrix}2&-3\\
1&3\end{pmatrix}</math>
::<math>=2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18</math>

== Proprietà ==

=== Proprietà elementari ===
Dalle proprietà elencate nella definizione assiomatica, è facile dedurre che:
* Se tutti gli elementi di una riga (o colonna) sono nulli, allora <math> \det(A) = 0 </math>.
* Se <math> A </math> ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora <math> \det(A) = 0 </math>.
* Se una riga (o colonna) è [[combinazione lineare]] di due o più altre righe (o colonne) a essa parallele, allora <math> \det(A) = 0 </math>.
* Se <math> A </math> viene modificata tramite [[mosse di Gauss]] sulle colonne (invece che sulle righe), l'effetto è sempre quello descritto nella definizione assiomatica.
* In particolare, scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Ne consegue che un numero pari di scambi non varia né il segno né il modulo del determinante.
* Se una riga (o una colonna) è somma di due righe (o colonne), <math> \det(A) </math> è la somma dei due determinanti che si ottengono sostituendo a quella riga (o colonna) rispettivamente le due righe (o colonne) di cui è somma.

[[File:Déterminant-3D.jpg|thumb|
Il determinante misura il volume del parallelepipedo generato dai vettori  colonna della matrice. Moltiplicando un vettore per due, il volume viene moltiplicato per due (come richiesto dalla definizione assiomatica)
]]

=== Moltiplicazione di matrici ===
Il determinante è una funzione moltiplicativa, nel senso che vale il [[teorema di Binet]]:

: <math>\det(AB) = \det(A)\det(B)</math>

Una matrice quadrata <math> A </math> con valori in un [[campo (matematica)|campo]] <math> K </math> è [[matrice invertibile|invertibile]] se e solo se <math>\det(A)\neq 0 </math>. In caso affermativo vale l'uguaglianza:

: <math>\det(A^{-1}) = \left ( \det(A) \right )^{-1}</math>

Le proprietà appena elencate mostrano che l'applicazione:

: <math> \det:\textrm{GL}_n(K)\to K^* </math>

dal [[gruppo generale lineare]] negli elementi non nulli di <math> K </math> è un [[omomorfismo di gruppi]].

Come conseguenza del teorema di Binet, se <math> I </math> è la [[matrice identità]] di tipo <math>n\times n </math> e <math> r </math> uno scalare, è facile verificare che <math> \det(rI) = r^n</math>. Infatti:

: <math>\det(rA) = \det (rI\cdot A) = r^n \det(A)</math>

=== Trasposte, matrici simili ===
Una matrice e la sua [[matrice trasposta|trasposta]] hanno lo stesso determinante:

: <math>\det(A) = \det(A^T)</math>

Se <math>A</math> e <math>B</math> sono [[matrici simili|simili]] (cioè esiste una matrice invertibile <math>X</math> tale che <math>A</math> = <math>X^{-1} B X</math>) allora per il teorema di Binet <math>\det(A) = \det(B)</math>

Questo significa che il determinante è un invariante per [[similitudine fra matrici|similitudine]]. Da questo segue che il determinante di una trasformazione lineare <math> f:V\to V </math> è ben definito (non dipende dalla scelta di una base per lo spazio vettoriale <math> V </math>).

D'altra parte, esistono matrici con lo stesso determinante che non sono simili.

Nel campo dei numeri reali, il segno del determinante è anche invariante per [[Congruenza fra matrici|congruenza]].

=== Autovalori ===
Il determinante di una [[matrice triangolare]] è il prodotto degli elementi nella diagonale.

Se <math>A</math> è di tipo <math> n\times n</math> con valori [[numeri reali|reali]] o [[numeri complessi|complessi]] e ha tutti gli [[autovalore|autovalori]] <math> \lambda_1, \ldots, \lambda_n </math> nel campo (contati con molteplicità), allora:

: <math>\det(A) = \lambda_{1}\lambda_{2} \cdots \lambda_{n}</math>

Questa uguaglianza segue dal fatto che <math>A</math> è sempre simile alla sua [[forma normale di Jordan]], che è una matrice triangolare superiore con gli autovalori sulla diagonale principale.

Dal collegamento fra determinante e autovalori si può derivare una relazione fra la [[traccia (matrice)|funzione traccia]], la [[funzione esponenziale]] e il determinante:

: <math>\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}</math>

=== Derivata ===
Il determinante può considerarsi una [[polinomio|funzione polinomiale]]:

: <math>\det:\mathbb{R}^{n \times n}\to\mathbb{R}</math>

quindi essa è [[derivata|differenziabile]] rispetto a ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo [[differenziale (matematica)|differenziale]] può essere espresso mediante la [[formula di Jacobi]]:

: <math>d \det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{cof^\top}(A) dA)</math>

dove <math>\operatorname{cof^\top}(A)</math> denota la [[matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice dei cofattori]] (detta anche ''dei complementi algebrici'') di <math>A</math>, mentre <math>\operatorname{tr}(A)</math> ne denota la [[traccia (matrice)|traccia]]. In particolare, se <math>A</math> è invertibile si ha:

: <math>d\det(A) = \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} dA)</math>

o, più colloquialmente, se i valori della matrice <math>X</math> sono sufficientemente piccoli:

: <math>\det(A + X) - \det(A) \approx \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} X)</math>

Il caso particolare di <math>A</math> coincidente con la matrice identità <math>I</math> comporta:

: <math>\det(I + X) \approx 1 + \operatorname{tr}(X)</math>

== Applicazioni ==
=== Sistemi lineari ===
Il determinante è utile a calcolare il [[rango (matematica)|rango]] di una matrice e quindi a determinare se un [[sistema di equazioni lineari]] ha soluzione, tramite il [[teorema di Rouché-Capelli]]. Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la [[regola di Cramer]].

=== Matrici e trasformazioni invertibili ===
Una matrice è detta ''singolare'' se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai [[matrice invertibile|invertibile]], e se è definita su un [[campo (matematica)|campo]] vale anche l'inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.

Una [[trasformazione lineare]] del [[piano (geometria)|piano]], dello spazio, o più in generale di uno [[spazio euclideo]] o [[spazio vettoriale|vettoriale]] (di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita) <math>f:V\to V</math> è [[matrice associata ad una applicazione lineare|rappresentata]] (dopo aver scelto una [[base (algebra lineare)|base]]) da una matrice quadrata <math> A </math>. Il determinante è una quantità che non dipende dalla base scelta, e quindi solo dalla funzione <math> f </math>: si può quindi parlare di ''determinante di <math> f </math>'', che si indica con <math>\det (f) </math>.

Molte affermazioni su <math> f </math> sono equivalenti:

:<math> f </math> è una [[corrispondenza biunivoca]] <math> \Leftrightarrow </math> <math> f </math> è un [[isomorfismo]] <math> \Leftrightarrow </math> <math> f </math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]] <math> \Leftrightarrow </math> <math> f </math> è [[funzione suriettiva|suriettiva]] <math> \Leftrightarrow </math> <math> \det (A) = \det (f) \neq 0</math>

Quindi ciascuna di queste affermazioni equivalenti è vera se e solo se il determinante non è zero.

=== Autovalori e autovettori ===
{{vedi anche|Polinomio caratteristico}}
Il determinante consente di trovare gli [[autovalore|autovalori]] di una matrice <math>A</math> mediante il suo [[polinomio caratteristico]]:

:<math>p(x) = \det(A - xI)</math>

dove <math> I </math> è la [[matrice identità]] avente stesso numero di righe di <math> A </math>.

=== Basi, sistemi di riferimento ===
Dati <math> n </math> vettori nello [[spazio euclideo]] <math>\R^n </math>, sia <math> A </math> la matrice avente come colonne questi vettori. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

:i vettori sono [[indipendenza lineare|indipendenti]] <math> \Leftrightarrow </math> i vettori [[span lineare|generano]] <math>\R^n</math> <math> \Leftrightarrow </math> i vettori formano una [[base (algebra lineare)|base]] <math> \Leftrightarrow </math> <math> \det (A) \neq 0 </math>

Se gli <math> n </math> vettori formano una base, allora il segno di <math>\det (A) </math> determina l'[[orientabilità|orientazione]] della base: se positivo, la base forma un ''sistema di riferimento destrorso'', mentre se è negativo si parla di ''sistema di riferimento sinistrorso'' (in analogia con la [[regola della mano destra]]).

=== Volumi ===
[[File:Transvection-1.jpg|thumb|Cubo prima della trasformazione, di volume 1.]]
[[File:Transvection-2.jpg|thumb|upright=1.4|L'immagine del cubo dopo la trasformazione è un [[parallelepipedo]], il cui volume è pari al determinante della trasformazione.]]
Il [[valore assoluto]] <math>|\det A| </math> del determinante è uguale al volume del [[parallelepipedo]] sotteso dai vettori dati dalle colonne di <math> A </math> (il parallelepipedo è in realtà un [[parallelogramma]] se <math> n=2 </math>, e un solido di dimensione <math>n </math> in generale). Più in generale, data una [[trasformazione lineare]]:

:<math>f: \R^n \rightarrow \R^n</math>

rappresentata da una matrice <math>A</math>, e un qualsiasi sottoinsieme <math> S </math> di <math>\mathbb{R}^n</math> [[misura secondo Lebesgue|misurabile secondo Lebesgue]], il volume dell'[[immagine (matematica)|immagine]] <math>f(S)</math> è dato da:

:<math>\left| \det(A) \right| \cdot \operatorname{volume}(S)</math>

Ancora più in generale, se la trasformazione lineare <math>f: \R^n \rightarrow \R^m</math> è rappresentata da una matrice <math>A</math> di tipo <math>m \times n</math> e <math>S</math> è un sottoinsieme di <math>\R^{n}</math> misurabile secondo Lebesgue, allora il volume di <math>f(S)</math> è dato da:

:<math>\sqrt{\det(A^T A)} \cdot \operatorname{volume}(S)</math>

:

== Generalizzazioni ==
=== Pfaffiano ===
Lo [[pfaffiano]] è un analogo del determinante per matrici antisimmetriche di tipo <math>2n\times 2n</math> . Si tratta di un polinomio di grado <math>n</math> il cui quadrato è uguale al determinante della matrice.

=== Infinite dimensioni ===
Per gli spazi a infinite dimensioni non si trova alcuna generalizzazione dei determinanti e della nozione di volume. Sono possibili svariati approcci, inclusa la utilizzazione dell'estensione della [[traccia (matrice)|traccia di una matrice]].

=== Determinante di un endomorfismo ===
Se <math>V</math> è uno spazio vettoriale di dimensione finita <math>n</math> sul campo <math>\mathbb{K}</math> allora è possibile definire il determinante di un endomorfismo <math>f : V \to V</math> direttamente, senza fare ricorso a una base di <math>V</math>. Sia <math>\Lambda^n(V)</math> lo spazio vettoriale degli <math>n-</math>vettori di <math>V</math>. Consideriamo l'endomorfismo <math>T_f</math> di <math>\Lambda^n(V)</math> definito di modo che:

:<math>T_f(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)</math>

per ogni <math>x_1, x_2, \ldots, x_n \in V</math>, ed esteso per linearità a tutto <math>\Lambda^n(V)</math>. Poiché <math>\Lambda^n(V)</math> ha dimensione uguale a 1 risulta che <math>T_f</math> altro non è che la moltiplicazione per uno scalare. Quindi possiamo definire il determinante di <math>f</math> attraverso l'equazione:

:<math>f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = \det(f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)</math>

per ogni <math>x_1, x_2, \ldots, x_n \in V</math>. A questo punto seguono tutte le proprietà del determinante, in particolare è immediato che <math>\det(\operatorname{id}) = 1</math> dove <math>\operatorname{id}</math> è l'endomorfismo identità di <math>V</math>. Se <math>g</math> è un altro endomorfismo di <math>V</math> allora:

:<math>\det(g \circ f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = (g \circ f)(x_1) \wedge (g \circ f)(x_2) \wedge \cdots \wedge (g \circ f)(x_n) </math>

::<math>= \det(g) (f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)) = \det(f)\det(g) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)</math>

da cui <math>\det(g \circ f) = \det(g) \det(f)</math>. Se <math>f</math> non è un isomorfismo allora l'immagine di <math>f</math> ha dimensione strettamente minore di <math>n</math> e quindi <math>f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n)</math> sono sicuramente linearmente dipendenti, essendo che <math>\wedge</math> è una forma multilineare alternante segue che <math>f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = 0</math> e quindi <math>\det(f) = 0</math>. Si verifica che fissata una base su <math>V</math> il determinante della matrice associata a <math>f</math> rispetto a tale base coincide con il determinante di <math>f</math>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*  {{en}} Andrews, G. E. and Burge, W. H. ''Determinant Identities.'' Pacific J. Math. 158, 1-14, 1993.
*  {{en}} Arfken, G. "Determinants." §4.1 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp.&nbsp;168–176, 1985.
*  {{en}} Brenner, J. and Cummings, L. ''The Hadamard Maximum Determinant Problem.'' Amer. Math. Monthly 79, 626-630, 1972. 
* [[Ernesto Pascal]] ''[http://name.umdl.umich.edu/ABZ4755.0001.001 I determinanti: teoria ed applicazioni. Con tutte le più recenti ricerche]'' (Milano: U. Hoepli, 1897)
* Francesco Calderara ''[http://resolver.library.cornell.edu/math/1927647 Trattato dei determinanti]'' (Palermo: Virzì, 1913) 
* {{fr}} [[Francesco Brioschi]] ''{{collegamento interrotto|1=[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF30162093 Théorie des déterminants et leurs principales applications; traduit de l'italien par M. Édouard Combescure] |date=febbraio 2018 |bot=InternetArchiveBot }}'' (Parigi: Mallet-Bachelier, 1856)
* {{fr}} R. Baltzer ''{{collegamento interrotto|1=[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF30050936 Théorie et applications des déterminants, avec l'indication des sources originales; traduit de l'allemand par J. Hoüel,] |date=febbraio 2018 |bot=InternetArchiveBot }}'' (Parigi: Mallet-Bachelier, 1861)
* {{en}} [[Lewis Carroll]] ''[https://www.archive.org/details/elementarytreati00carrrich An elementary treatise on determinants, with their application to simultaneous linear equations and algebraical geometry]'' (Oxford: University Press, 1867)
* {{en}} R. F. Scott e G. B. Matthews ''[https://www.archive.org/details/theoryofdetermin00scotuoft The theory of determinants and their applications]'' (Cambridge: University Press, 1904) 
* {{en}} T. Muir ''[http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath&amp;idno=ACM9350 The theory of determinants in the historical order of development (4 vol.)]'' (London: Macmillan and Co., Limited, 1906) 
* {{en}} T. Muir ''[https://www.archive.org/details/contributionstot032405mbp Contributions To The History Of Determinants 1900 1920]'' (Blackie And Son Limited, 1930)

== Voci correlate ==
* [[Matrice jacobiana]]
* [[Matrice unimodulare]]
* [[Metodo di eliminazione di Gauss]]
* [[Permanente (matematica)]]
* [[Polinomio caratteristico]]
* [[Regola di Sarrus]]
* [[Teorema di Laplace]]

==Altri progetti==
{{Wikilibro|Algebra lineare}}

== Collegamenti esterni ==
* {{springerEOM|titolo=Determinant|autore= D.A. Suprunenko }}
*{{MathWorld|2=Determinant}}
* {{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html Storia dell'uso delle matrici e dei determinanti] su [[MacTutor]]
* {{it}} [https://web.archive.org/web/20160604204927/http://www.webalice.it/simoalessia/SimplyMath/calcolatrice-matrici-vettori.html Calcolatrice per matrici e vettori online]
* {{cita web|1=http://sole.ooz.ie/en|2=WebApp to calculate determinants and descriptively solve systems of linear equations|lingua=en|accesso=19 gennaio 2014|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20140221054733/http://sole.ooz.ie/en#|dataarchivio=21 febbraio 2014|urlmorto=sì}}
* {{cita web|http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/MatrixDeterminant.html|Determinant Interactive Program and Tutorial|lingua=en}}
* {{cita web|http://matrixcalc.org/en.index.html|Online Matrix Calculator|lingua=en}}
* {{en}}[http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/en/ Linear algebra: determinants.] Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
* {{cita web|http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm|Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages|lingua=en}}
* {{cita web|http://algebra.math.ust.hk/course/content.shtml|Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course.|lingua=en}}
* {{cita web|url=https://khanexercises.appspot.com/video?v=H9BWRYJNIv4|titolo=Instructional Video on taking the determinant of an nxn matrix (Khan Academy)|lingua=en|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20100325133146/http://khanexercises.appspot.com/video?v=H9BWRYJNIv4|dataarchivio=25 marzo 2010}}

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